Решебник Погорелова к задачам по геометрии для 8 класса
|
|
|
|
Векторы
1. На прямой даны три точки A, B, C, причем точка B лежит между точками А и C. Среди векторов AB , AC , BA и BC назовите одинаково направленные и противоположно направленные.
СМОТРЕТЬ РЕШЕНИЕ
2. Четырехугольник ABCD — параллелограмм. Докажите равенство векторов AB и DC .
СМОТРЕТЬ РЕШЕНИЕ
3. Даны вектор AB и точка C. Отложите от точки C вектор, равный вектору AB , если: 1) точка C лежит на прямой AB; 2) точка C не лежит на прямой AB.
СМОТРЕТЬ РЕШЕНИЕ
4. Векторы a (2;4), b (-1;2), c (c1;c2,) отложены от начала координат. Чему равны координаты их концов?
СМОТРЕТЬ РЕШЕНИЕ
5. Абсолютная величина вектора a (5; m) равна 13, а вектора b(n; 24) равна 25. Найти m и n.
СМОТРЕТЬ РЕШЕНИЕ
6. Даны точки A (0;1), B (1;0), C (1;2), D (2;1). Докажите равенство векторов AB CD
СМОТРЕТЬ РЕШЕНИЕ
7. Даны три точки A (1;1). B (-1;0), C (0;1). Найдите такую точку D (x; y), чтобы векторы AB и CD были равны.
СМОТРЕТЬ РЕШЕНИЕ
8. Найдите вектор c, равный сумме векторов a и b , и абсолютную величину вектора c, если: 1) a (1; -4), b (-4;8); 2) a (2;5), b (4;3).
СМОТРЕТЬ РЕШЕНИЕ
9. Дан треугольник ABC. Найдите сумму векторов: 1) AC и CB ; 2) AB и CB ; 3) AC и AB; 4) CA и CB
СМОТРЕТЬ РЕШЕНИЕ
10. Найдите вектор c = a - b и его абсолютную величину, если 1) а (1;4), b (-4;8); 2) а (-2;7), b (4; -1).
СМОТРЕТЬ РЕШЕНИЕ
11. Даны векторы с общим началом: AB и AC . Докажите, что AC - AB = BC .
СМОТРЕТЬ РЕШЕНИЕ
12. В параллелограмме ABCD диагонали пересекаются в точке M. Выразите векторы AB и CD через векторы a = AM , b = BM.
СМОТРЕТЬ РЕШЕНИЕ
13. Начертите три произвольных вектора a, b , c, как на рисунке. А теперь постройте векторы, равные: 1)a+ b + c; 2) a - b + c; 3) - a + b + c.
СМОТРЕТЬ РЕШЕНИЕ
14. 1)Докажите, что для векторов AB , BC и AC имеет место неравенство | AC |≤| AB |+| BC |. 2)Докажите, что для любых векторов а и b имеет место неравенство | а + b |≤| а |+| b |.
СМОТРЕТЬ РЕШЕНИЕ
15. К горизонтальной балке на двух равных нитях подвешен груз весом P. Определите силы натяжения нитей.
СМОТРЕТЬ РЕШЕНИЕ
16. С какой силой F надо удерживать груз весом P на наклонной плоскости, чтобы он не сползал вниз?
СМОТРЕТЬ РЕШЕНИЕ
17. Даны точки A (x1; y1) и B (x2, y2). Докажите, что векторы AB и BA противоположно направлены.
СМОТРЕТЬ РЕШЕНИЕ
18. Докажите, что векторы a (1;2) и b (0,5;1) одинаково направлены, а векторы c (-1;2) и a (0,5; -1) противоположно направлены.
СМОТРЕТЬ РЕШЕНИЕ
19. Даны векторы а (3;2) и b (0; -1). Найдите вектор c = - 2 а + 4 b и его абсолютную величину.
СМОТРЕТЬ РЕШЕНИЕ
20. Абсолютная величина вектора λа равна 5. Найдите λ если: 1) а (-6;8); 2) а (3;4); 3) а (5; 12).
СМОТРЕТЬ РЕШЕНИЕ
21. В треугольнике ABC проведена медиана AM. Докажите, что AM = 1/2 (AB + AC)
СМОТРЕТЬ РЕШЕНИЕ
22. Точки M и N являются серединами отрезков AB и CD со ответственно. Докажите векторное равенство MN = 1/2( AC + BD).
СМОТРЕТЬ РЕШЕНИЕ
23. Дан параллелограмм ABCD, AC = a, DB = b . Выразите векторы AB, CB , CD и AD через а и b .
СМОТРЕТЬ РЕШЕНИЕ
24. Докажите, что у коллинеарных векторов соответствующие координаты пропорциональны. И обратно: если у двух ненулевых векторов соответствующие координаты пропорциональны, то эти векторы коллинеарны.
СМОТРЕТЬ РЕШЕНИЕ
25. Даны векторы а (2; -4), b (1;1), с (1; -2), d (-2; -2). Укажите пары коллинеарных векторов. Какие из данных векторов одинаково направлены, а какие — противоположно направлены?
СМОТРЕТЬ РЕШЕНИЕ
26. Известно, что векторы a(1; -1) и b (-2; m) коллинеарны. Найдите, чему равно m.
СМОТРЕТЬ РЕШЕНИЕ
27. Даны векторы а (1; 0), b (1;1) и с (-1; 0). Найдите такие числа λ и μ, чтобы имело место векторное равенство c = λa + μb .
СМОТРЕТЬ РЕШЕНИЕ
28. Докажите, что для любых векторов a и b (ab) ≤ a2 b2
СМОТРЕТЬ РЕШЕНИЕ
29. Найдите угол между векторами a(1;2) и b (1; -1/2).
СМОТРЕТЬ РЕШЕНИЕ
30. Даны векторы а и b . Найдите абсолютную величину вектора a+ b , если известно, что абсолютные величины векторов а и b равны 1, а угол между ними 60°.
СМОТРЕТЬ РЕШЕНИЕ
31. Найдите угол между векторами a и a + b задачи 30
СМОТРЕТЬ РЕШЕНИЕ
32. Даны вершины треугольника A (1;1), B (4;1), C (4;5). Найдите косинусы углов треугольника.
СМОТРЕТЬ РЕШЕНИЕ
33. Найдите углы треугольника с вершинами A (0; √3), B(2; √3), C (3/2; √3/2).
СМОТРЕТЬ РЕШЕНИЕ
34. Докажите что векторы a(m; n), b(-n; m) перпендикулярны или равны нулю
СМОТРЕТЬ РЕШЕНИЕ
35. Даны векторы a (3;4) и b (m;2). При каком значении m эти векторы перпендикулярны?
СМОТРЕТЬ РЕШЕНИЕ
36. Даны векторы a(1; 0) и b (1;1). Найдите такое число λ, чтобы вектор a + λb был перпендикулярен вектору a.
СМОТРЕТЬ РЕШЕНИЕ
37. Докажите, что если a и b — единичные неколлинеарные векторы, то векторы a + b и a - b отличны от нуля и перпендикулярны
СМОТРЕТЬ РЕШЕНИЕ
38. Докажите, что сумма квадратов диагоналей параллелограмма равна сумме квадратов его сторон.
СМОТРЕТЬ РЕШЕНИЕ
39. Даны стороны треугольника a, b, c. Найдите его медианы ma, mb, mc.
СМОТРЕТЬ РЕШЕНИЕ
40. Докажите, что геометрическое место точек, сумма квадратов расстояний от которых до двух данных точек постоянна, есть окружность с центром в середине отрезка, соединяющего данные точки.
СМОТРЕТЬ РЕШЕНИЕ
41. Векторы a + b и a – b перпендикулярны. Докажите что |a| = |b|
СМОТРЕТЬ РЕШЕНИЕ
42. Докажите с помощью векторов, что диагонали ромба перпендикулярны.
СМОТРЕТЬ РЕШЕНИЕ
43. Даны четыре точки A (1;1), B (2;3), C (0;4), D (-1;2). Докажите, что четырехугольник ABCD — прямоугольник.
СМОТРЕТЬ РЕШЕНИЕ
44. Даны четыре точки A (0; 0), B (1;1), C (0;2), D (-1;1). Докажите, что четырехугольник ABCD — квадрат.
СМОТРЕТЬ РЕШЕНИЕ
45. Среди векторов a(-3/5; 4/3), b(2/3; 2/3), c(0; -1), d(3/5; -4/5) найдите единичные и укажите, какие из них коллинеарны.
СМОТРЕТЬ РЕШЕНИЕ
46. Найдите единичный вектор e, коллинеарный вектору a (6;8) и одинаково с ним направленный.
СМОТРЕТЬ РЕШЕНИЕ
47. Даны координатные векторы e1(1; 0) и e2 (0;1). Чему равны координаты вектора 2e1 -3e2
СМОТРЕТЬ РЕШЕНИЕ
48. 1) Даны три точки O, A, B. Точка X делит отрезок AB в отношении λ:μ, считая от точки A. Выразите вектор OX через векторы OA =a и OB = b . 2) Докажите, что медианы треугольника пересекаются в одной точке,которая делит их в отношении 2:1, считая от соответствующих вершин.
СМОТРЕТЬ РЕШЕНИЕ
49. Докажите что проекция a вектора c на ось абсцисс с координатным вектором e1(1; 0) задается формулой a = ke1, где k = ce1
СМОТРЕТЬ РЕШЕНИЕ
50. Докажите, что проекция суммы векторов на ось равна сумме проекций слагаемых на ту же ось.
СМОТРЕТЬ РЕШЕНИЕ | |
|
