|
|
|
Решебник Погорелов онлайн, 8 класс |
Решебник Погорелова к задачам по геометрии для 8 класса
|
|
|
|
Четырехугольники
1. На рисунках 114-116 представлены три фигуры, каждая из которых состоит из четырех точек и четырех последовательно соединяющих их отрезков. Какая из этих фигур является четырехугольником?
СМОТРЕТЬ РЕШЕНИЕ
2. Постройте какой-нибудь четырехугольник PQRS. Укажите его противолежащие стороны и вершины.
СМОТРЕТЬ РЕШЕНИЕ
3. Сколько можно построить параллелограммов с вершинами в трех заданных точках, не лежащих на одной прямой? Постройте их.
СМОТРЕТЬ РЕШЕНИЕ
4. Боковая сторона равнобедренного треугольника равна 5 м. Из точки, взятой на основании этого треугольника, проведены две прямые, параллельные боковым сторонам. Найдите периметр получившегося параллелограмма.
СМОТРЕТЬ РЕШЕНИЕ
5. Расстояния от точки пересечения диагоналей параллелограмма до двух его вершин равны 3 см и 4 см. Чему равны расстояния от нее до двух других вершин? Объясните ответ.
СМОТРЕТЬ РЕШЕНИЕ
6. Через точку пересечения диагоналей параллелограмма проведена прямая. Докажите, что отрезок ее, заключенный между параллельными сторонами, делится этой точкой пополам.
СМОТРЕТЬ РЕШЕНИЕ
7. В параллелограмме ABCD через точку пересечения диагоналей проведена прямая, которая отсекает на сторонах BC и AD отрезки ВЕ = 2м и AF = 2,8 м. Найдите стороны BC и AD.
СМОТРЕТЬ РЕШЕНИЕ
8. У параллелограмма ABCD AB = 10 см, BC = 15 см. Чему равны стороны AD и CD? Объясните ответ.
СМОТРЕТЬ РЕШЕНИЕ
9. У параллелограмма ABCD ∠A = 30°. Чему равны углы B, C, D? Объясните ответ.
СМОТРЕТЬ РЕШЕНИЕ
10. Периметр параллелограмма ABCD равен 10 см. Найдите длину диагонали BD, зная, что периметр треугольника ABD равен 8 см.
СМОТРЕТЬ РЕШЕНИЕ
11. Один из углов параллелограмма равен 40°. Найдите остальные углы.
СМОТРЕТЬ РЕШЕНИЕ
12. Найдите углы параллелограмма, зная, что один из них больше другого на 50°.
СМОТРЕТЬ РЕШЕНИЕ
13. Может ли один угол параллелограмма быть равным 40°, а другой — 50°?
СМОТРЕТЬ РЕШЕНИЕ
14. Диагональ параллелограмма образует с двумя его сторонами углы 25° и 35°. Найдите углы параллелограмма.
СМОТРЕТЬ РЕШЕНИЕ
15. Найдите все углы параллелограмма, если сумма двух из них равна: 1) 80°; 2) 100°; 3) 160°.
СМОТРЕТЬ РЕШЕНИЕ
16. Найдите все углы параллелограмма, если разность двух из них равна: 1) 70°; 2) 110°; 3) 140°.
СМОТРЕТЬ РЕШЕНИЕ
17. В параллелограмме ABCD точка E — середина стороны BC, а F — середина стороны AD. Докажите, что четырехугольник BEDF — параллелограмм.
СМОТРЕТЬ РЕШЕНИЕ
18. Докажите, что если у четырехугольника две стороны параллельны и равны, то он является параллелограммом.
СМОТРЕТЬ РЕШЕНИЕ
19. В параллелограмме ABCD проведена биссектриса угла A, которая пересекает сторону BC в точке E. Чему равны отрезки BE и EC, если AB = 9 см, AD = 15 см?
СМОТРЕТЬ РЕШЕНИЕ
20. Две стороны параллелограмма относятся как 3:4. а периметр его равен 2,8 м. Найдите стороны.
СМОТРЕТЬ РЕШЕНИЕ
21. В параллелограмме ABCD перпендикуляр, опущенный из вершины B на сторону АD, делит ее пополам. Найдите диагональ BD и стороны параллелограмма, если известно, что периметр параллелограмма равен 3,8 м, а периметр треугольника ABD равен 3 м.
СМОТРЕТЬ РЕШЕНИЕ
22. Постройте параллелограмм: 1) по двум сторонам и диагонали; 2) по стороне и двум диагоналям.
СМОТРЕТЬ РЕШЕНИЕ
23. Постройте параллелограмм: 1) по двум сторонам и углу; 2) по диагоналям и углу между ними.
СМОТРЕТЬ РЕШЕНИЕ
24. Докажите, что если у параллелограмма все углы равны, то он является прямоугольником.
СМОТРЕТЬ РЕШЕНИЕ
25. Докажите, что если в параллелограмме хотя бы один угол прямой, то он является прямоугольником.
СМОТРЕТЬ РЕШЕНИЕ
26. Докажите, что если у параллелограмма диагонали равны, то он является прямоугольником.
СМОТРЕТЬ РЕШЕНИЕ
27. Бетонная плита с прямолинейными краями должна иметь форму прямоугольника. Как при помощи бечевки проверить правильность формы плиты?
СМОТРЕТЬ РЕШЕНИЕ
28. Биссектриса одного из углов прямоугольника делит сторону прямоугольника пополам. Найдите периметр прямоугольника, если его меньшая сторона равна 10 см.
СМОТРЕТЬ РЕШЕНИЕ
29. В прямоугольнике точка пересечения диагоналей отстоит от меньшей стороны на 4 см дальше, чем от большей стороны. Периметр прямоугольника равен 56 см. Найдите стороны прямоугольника.
СМОТРЕТЬ РЕШЕНИЕ
30. Из одной точки окружности проведены две взаимно перпендикулярные хорды, которые удалены от центра на 6 см и 10 см. Найдите их длины.
СМОТРЕТЬ РЕШЕНИЕ
31. В прямоугольный треугольник, каждый катет которого равен 6 см, вписан прямоугольник, имеющий с треугольником общий угол. Найдите периметр прямоугольника.
СМОТРЕТЬ РЕШЕНИЕ
32. В равнобедренный прямоугольный треугольник вписан прямоугольник так, что две его вершины находятся на гипотенузе, а две другие — на катетах. Чему равны стороны прямоугольника, если известно, что они относятся как 5: 2, а гипотенуза треугольника равна 45 см?
СМОТРЕТЬ РЕШЕНИЕ
33. Докажите, что если у параллелограмма диагонали перпендикулярны, то он является ромбом.
СМОТРЕТЬ РЕШЕНИЕ
34. Докажите, что если диагональ параллелограмма является биссектрисой его углов, то он является ромбом.
СМОТРЕТЬ РЕШЕНИЕ
35. Углы, образуемые диагоналями ромба с одной из его сторон, относятся как 4:5. Найдите углы ромба.
СМОТРЕТЬ РЕШЕНИЕ
36. Докажите, что четырехугольник, у которого все стороны равны, является ромбом.
СМОТРЕТЬ РЕШЕНИЕ
37. В ромбе одна из диагоналей равна стороне. Найдите углы ромба.
СМОТРЕТЬ РЕШЕНИЕ
38. Постройте ромб: 1) по углу и диагонали, исходящей из вершины этого угла; 2) по диагонали и противолежащему углу.
СМОТРЕТЬ РЕШЕНИЕ
39. Постройте ромб: 1) по стороне и диагонали; 2) по двум диагоналям.
СМОТРЕТЬ РЕШЕНИЕ
40. Докажите, что если диагонали прямоугольника пересекаются под прямым углом, то он есть квадрат.
СМОТРЕТЬ РЕШЕНИЕ
41. В равнобедренный прямоугольный треугольник, каждый катет которого 2 м, вписан квадрат, имеющий с ним общий угол. Найдите периметр квадрата.
СМОТРЕТЬ РЕШЕНИЕ
42. Дан квадрат ABCD. На каждой из его сторон отложены равные отрезки AA1=BB1=CC1=DD1. Докажите, что четырехугольник A1B1C1D1 есть квадрат.
СМОТРЕТЬ РЕШЕНИЕ
43. Диагональ квадрата равна 4 м. Сторона его равна диагонали другого квадрата. Найдите сторону последнего.
СМОТРЕТЬ РЕШЕНИЕ
44. Дан квадрат, сторона которого 1 м, диагональ его равна стороне другого квадрата. Найдите диагональ последнего.
СМОТРЕТЬ РЕШЕНИЕ
45. В квадрат вписан прямоугольник так, что на каждой стороне квадрата находится одна вершина прямоугольника и стороны прямоугольника параллельны диагоналям квадрата. Найдите стороны прямоугольника, зная, что одна из них вдвое больше другой и что диагональ квадрата равна 12 м.
СМОТРЕТЬ РЕШЕНИЕ
46. В равнобедренный прямоугольный треугольник вписан квадрат так, что две его вершины находятся на гипотенузе, а другие две — на катетах. Найдите сторону квадрата, если известно, что гипотенуза равна 3 м.
СМОТРЕТЬ РЕШЕНИЕ
47. Из данной точки проведены к окружности две взаимно перпендикулярные касательные, радиус окружности 10 см. Найдите длины касательных (расстояние от данной точки до точки касания).
СМОТРЕТЬ РЕШЕНИЕ
48. Разделите данный отрезок AB на 3 равных части.
СМОТРЕТЬ РЕШЕНИЕ
49. Разделите данный отрезок на указанное число равных частей: 1) 3; 2) 5; 3)6.
СМОТРЕТЬ РЕШЕНИЕ
50. Стороны треугольника равны 8 см, 10 см, 12 см. Найдите стороны треугольника, вершинами которого являются середины сторон данного треугольника.
СМОТРЕТЬ РЕШЕНИЕ
51. Периметр треугольника равен 12 см, середины сторон соединены отрезками. Найдите периметр полученного треугольника.
СМОТРЕТЬ РЕШЕНИЕ
52. Средняя линия равнобедренного треугольника, параллельная основанию, равна 3 см. Найдите стороны треугольника, если его периметр равен 16 см.
СМОТРЕТЬ РЕШЕНИЕ
53. Как построить треугольник, если заданы середины его сторон?
СМОТРЕТЬ РЕШЕНИЕ
54. Докажите, что вершины треугольника равноудалены от прямой, проходящей через середины двух его сторон.
СМОТРЕТЬ РЕШЕНИЕ
55. Докажите, что середины сторон четырехугольника являются вершинами параллелограмма.
СМОТРЕТЬ РЕШЕНИЕ
56. Найдите стороны параллелограмма из предыдущей задачи, если известно, что диагонали четырехугольника равны 10 м и 12 м.
СМОТРЕТЬ РЕШЕНИЕ
57. У четырехугольника диагонали равны a и b. Найдите периметр четырехугольника, вершинами которого являются середины сторон данного четырехугольника.
СМОТРЕТЬ РЕШЕНИЕ
58. Докажите, что середины сторон прямоугольника являются вершинами ромба. И наоборот, середины сторон ромба являются вершинами прямоугольника.
СМОТРЕТЬ РЕШЕНИЕ
59. Боковая сторона трапеции разделена на три равные части, и из точек деления проведены к другой стороне отрезки параллельные основаниям. Найдите длины этих отрезков, если основания трапеции равны 2 м и 5 м.
СМОТРЕТЬ РЕШЕНИЕ
60. Докажите, что у равнобокой трапеции углы при основании равны.
СМОТРЕТЬ РЕШЕНИЕ
61. Чему равны углы равнобокой трапеции, если известно, что разность противолежащих углов равна 40°?
СМОТРЕТЬ РЕШЕНИЕ
62. В равнобокой трапеции большее основание равно 2,7 м, боковая сторона равна 1 м, угол между ними 60°. Найдите меньшее основание.
СМОТРЕТЬ РЕШЕНИЕ
63. В равнобокой трапеции высота, проведенная из вершины тупого угла, делит большее основание на отрезки 6 см и 30 см. Найдите основания трапеции.
СМОТРЕТЬ РЕШЕНИЕ
64. Меньшее основание равнобокой трапеции равно боковой стороне, а диагональ перпендикулярна боковой стороне. Найдите углы трапеции.
СМОТРЕТЬ РЕШЕНИЕ
65. По одну сторону от прямой a даны две точки A и B на расстояниях 10 м и 20 м от нее. Найдите расстояние от середины отрезка AB до прямой a.
СМОТРЕТЬ РЕШЕНИЕ
66. По разные стороны от прямой a даны две точки A и B на расстояниях 10 см и 4 см от нее. Найдите расстояние от середины отрезка AB до прямой a.
СМОТРЕТЬ РЕШЕНИЕ
67. Основания трапеции относятся как 2:3, а средняя линия равна 5 м. Найдите основания.
СМОТРЕТЬ РЕШЕНИЕ
68. Концы диаметра удалены от касательной к окружности на 1,6 м и 0,6 м. Найдите длину диаметра.
СМОТРЕТЬ РЕШЕНИЕ
69. Средняя линия трапеции 7 см, а одно из ее оснований больше другого на 4 см. Найдите основания трапеции.
СМОТРЕТЬ РЕШЕНИЕ
70. Высота, проведенная из вершины тупого угла равнобокой трапеции, делит большее основание на части, имеющие длины a и b (а > b). Найдите среднюю линию трапеции.
СМОТРЕТЬ РЕШЕНИЕ
71. Постройте трапецию по основаниям и боковым сторонам.
СМОТРЕТЬ РЕШЕНИЕ
72. Постройте трапецию по основаниям и диагоналям.
СМОТРЕТЬ РЕШЕНИЕ
73. Даны отрезки a, b, c, d, e. Постройте отрезок x=abc/de
СМОТРЕТЬ РЕШЕНИЕ
74. 1) В треугольнике ABC проведены медианы AA1 и BB1, которые пересекаются в точке M. В треугольнике АМВ проведена средняя линия PQ. Докажите, что четырехугольник A1B1PQ — параллелограмм. 2) Докажите, что любые две медианы треугольника в точке пересечения делятся в отношении 2:1, считая от вершины. 3) Докажите, что все три медианы треугольника пересекаются в одной точке.
СМОТРЕТЬ РЕШЕНИЕ | |
| Теорема Пифагора
1. Постройте угол, косинус которого равен: 1) 3/5; 2) 4/9; 3) 0,5; 4) 0,8.
СМОТРЕТЬ РЕШЕНИЕ
2. У прямоугольного треугольника заданы катеты a и b. Найдите гипотенузу, если: 1) a = 3, b = 4; 2) a = 1, b = 1; 3) a = 5, b = 6.
СМОТРЕТЬ РЕШЕНИЕ
3. У прямоугольного треугольника заданы гипотенуза c и катет a. Найдите второй катет, если: 1) c = 5, a = 3; 2) c = 13, a = 5; 3) c = 6, a = 5.
СМОТРЕТЬ РЕШЕНИЕ
4. Две стороны прямоугольного треугольника равны 3 м и 4 м. Найдите третью сторону.
СМОТРЕТЬ РЕШЕНИЕ
5. Могут ли стороны прямоугольного треугольника быть пропорциональны числам 5, 6, 7?
СМОТРЕТЬ РЕШЕНИЕ
6. Найдите сторону ромба, если его диагонали равны: 1) 6 см и 8 см; 2) 16 дм и 30 дм; 3) 5 м и 12 м.
СМОТРЕТЬ РЕШЕНИЕ
7. Стороны прямоугольника 60 см и 91 см. Чему равна диагональ?
СМОТРЕТЬ РЕШЕНИЕ
8. Диагональ квадрата a. Чему равна сторона квадрата?
СМОТРЕТЬ РЕШЕНИЕ
9. Можно ли из круглого листа железа диаметром 1,4 м вырезать квадрат со стороной 1 м?
СМОТРЕТЬ РЕШЕНИЕ
10. Найдите высоту равнобокой трапеции, у которой основания 5 м и 11 м, а боковая сторона 4 м.
СМОТРЕТЬ РЕШЕНИЕ
11. Найдите медиану равнобедренного треугольника с основанием a и боковой стороной b, проведенную к основанию.
СМОТРЕТЬ РЕШЕНИЕ
12. Могут ли увидеть друг друга космонавты, летящие над поверхностью Земли на высоте 230 км, если расстояние между ними по прямой равно 2200 км? Радиус Земли равен 6370 км
СМОТРЕТЬ РЕШЕНИЕ
13. В равностороннем треугольнике со стороной a найдите высоту.
СМОТРЕТЬ РЕШЕНИЕ
14. Даны отрезки a и b. Как построить отрезок: корень из (a2 + b2) корень из (a2 - b2), a > b
СМОТРЕТЬ РЕШЕНИЕ
15. Даны отрезки a и b. Как построить отрезок x = √ab ?
СМОТРЕТЬ РЕШЕНИЕ
16. Между двумя фабричными зданиями устроен покатый желоб для передачи материалов. Расстояние между зданиями равно 10 м, а концы желоба расположены на высоте 8 м и 4 м над землей. Найдите длину желоба.
СМОТРЕТЬ РЕШЕНИЕ
17. Докажите, что если треугольник имеет стороны a, b, с и a2 + b2 = c2, то у него угол, противолежащий стороне c, прямой.
СМОТРЕТЬ РЕШЕНИЕ
18. Чему равен угол треугольника со сторонами 5, 12, 13, противолежащий стороне 13?
СМОТРЕТЬ РЕШЕНИЕ
19. На стороне AB треугольника ABC взята точка X. Докажите, что отрезок CX меньше по крайней мере одной из сторон AC или BC.
СМОТРЕТЬ РЕШЕНИЕ
20. Докажите, что расстояние между любыми двумя точками на сторонах треугольника не больше большей из его сторон.
СМОТРЕТЬ РЕШЕНИЕ
21. Даны прямая и точка C на расстоянии h от этой прямой. Докажите, что из точки C можно провести две и только две наклонные длины l, если l > h.
СМОТРЕТЬ РЕШЕНИЕ
22. Докажите, что прямая, отстоящая от центра окружности на расстояние, меньшее радиуса, пересекает окружность в двух точках. Пусть дана окружность с центром O и радиусом R и прямая a, отстоящая от центра на расстояние h < R.
СМОТРЕТЬ РЕШЕНИЕ
23. Докажите, что любая хорда окружности не больше диаметра и равна диаметру только тогда, когда сама является диаметром.
СМОТРЕТЬ РЕШЕНИЕ
24. Докажите, что точки A, B, C лежат на одной прямой, если: 1) AB = 5 м, BC = 7 м. AC = 12 м; AB = 10,7, BC = 17.1, AC = 6,4.
СМОТРЕТЬ РЕШЕНИЕ
25. Докажите, что любая сторона треугольника больше разности двух других его сторон.
СМОТРЕТЬ РЕШЕНИЕ
26. Может ли у параллелограмма со сторонами 4 см и 7 см одна из диагоналей быть равной 2 см?
СМОТРЕТЬ РЕШЕНИЕ
27. В треугольнике одна сторона равна 1,9 м, а другая — 0,7 м. Найдите третью сторону, зная, что ее длина равна целому числу метров.
СМОТРЕТЬ РЕШЕНИЕ
28. Докажите, что медиана треугольника ABC, проведенная из вершины A, меньше полусуммы сторон AB и AC.
СМОТРЕТЬ РЕШЕНИЕ
29. Известно, что диагонали четырехугольника пересекаются. Докажите, что сумма их длин меньше периметра, но больше полупериметра четырехугольника.
СМОТРЕТЬ РЕШЕНИЕ
30. Отрезки AB и CD пересекаются в точке O. Докажите, что сумма расстояний от любой точки плоскости до точек A, B. С и D не меньше, чем OA + OB + OC + OD.
СМОТРЕТЬ РЕШЕНИЕ
31. На прямолинейном шоссе требуется указать место автобусной остановки так, чтобы сумма расстояний от нее до населенных пунктов A и B была наименьшей. Рассмотрите два случая: 1) населенные пункты расположены по разные стороны от шоссе; 2) населенные пункты расположены по одну сторону от шоссе
СМОТРЕТЬ РЕШЕНИЕ
32. Могут ли стороны треугольника быть пропорциональными числам 1, 2, 3?
СМОТРЕТЬ РЕШЕНИЕ
33. Докажите, что в треугольнике каждая сторона меньше половины периметра.
СМОТРЕТЬ РЕШЕНИЕ
34. Внутри окружности радиуса R взята точка на расстоянии d от центра. Найдите наибольшее и наименьшее расстояния от этой точки до точек окружности.
СМОТРЕТЬ РЕШЕНИЕ
35. Вне окружности радиуса R взята точка на расстоянии d от центра. Найдите наибольшее и наименьшее расстояния от этой точки до точек окружности.
СМОТРЕТЬ РЕШЕНИЕ
36. Могут ли пересекаться окружности, центры которых находятся на расстоянии 20 см, а радиусы 8 см и 11 см? Объясните ответ.
СМОТРЕТЬ РЕШЕНИЕ
37. Могут ли пересекаться окружности, центры которых находятся на расстоянии 5 см, а радиусы 6 см и 12 см? Объясните ответ.
СМОТРЕТЬ РЕШЕНИЕ
38. Докажите, что в задаче 36 окружности находятся одна вне другой, а в задаче 37 окружность радиуса 6 см находится внутри окружности радиуса 12 см.
СМОТРЕТЬ РЕШЕНИЕ
39. Могут ли пересекаться окружности с радиусами R1 и R2 и расстоянием между центрами d, если R1 + R2 < d?
СМОТРЕТЬ РЕШЕНИЕ
40. Даны три положительных числа a, b, c, удовлетворяющие условиям a ≤ b ≤ c < a + b. Докажите последовательно утверждения: 1) 0 < (c2 + a2 - b2) / 2c < a; 2) существует прямоугольный треугольник BCD, у которого гипотенуза BC = a, а катет BD = (c2 + a2 - b2) / 2c; 3) треугольник ABC, у которого BC = a, AB = c, а расстояние BD равно (c2 + a2 - b2) / 2c, имеет сторону АС = b.
СМОТРЕТЬ РЕШЕНИЕ
41.Даны три положительных числа a, b, c. Докажите, что если каждое из этих чисел меньше суммы двух других, то существует треугольник со сторонами a, b, c.
СМОТРЕТЬ РЕШЕНИЕ
42.Можно ли построить треугольник со сторонами: 1) a = 1 см, b = 2 см, c = 3 см; 2) a = 2 см, b = 3 см, c = 4 см; 3) a = 3 см, b = 7 см, c = 11 см; 4) a = 4 см, b = 5 см, c = 9 см?
СМОТРЕТЬ РЕШЕНИЕ
43.Даны две окружности с радиусами R1, R2 и расстоянием между центрами d. Докажите, что если каждое из чисел R1, R2 и d меньше суммы двух других сторон, то окружности пересекаются в двух точках.
СМОТРЕТЬ РЕШЕНИЕ
44.У прямоугольного треугольника один катет равен 8 см, а синус противолежащего ему угла равен 0,8. Найдите гипотенузу и второй катет.
СМОТРЕТЬ РЕШЕНИЕ
45.В прямоугольном треугольнике гипотенуза равна a, а один из острых углов α. Найдите второй острый угол и катеты.
СМОТРЕТЬ РЕШЕНИЕ
46.В прямоугольном треугольнике катет равен a, а противолежащий ему угол α. Найдите второй острый угол, противолежащий ему катет и гипотенузу.
СМОТРЕТЬ РЕШЕНИЕ
47.В прямоугольном треугольнике даны гипотенуза c и острый угол α. Найдите катеты, их проекции на гипотенузу и высоту, опущенную на гипотенузу.
СМОТРЕТЬ РЕШЕНИЕ
48.1) Найдите sin22°; sin22°36 ; sin22°38 ; sin 22°41 ; cos 68°; cos68°18 ; cos68°23 . 2) Найдите угол x, если sin(x) = 0,2850; sinx = 0,2844; cosx = 0,2710.
СМОТРЕТЬ РЕШЕНИЕ
49.Найдите значения синуса и косинуса углов: 1) 16°; 2) 24°36 ; 3) 70°32 ; 4) 88°49 .
СМОТРЕТЬ РЕШЕНИЕ
50.Найдите величину острого угла x, если: 1) sin(x) = 0,0175; 2) sin(x) = 0,5015;3) cos(x) = 0,6814; 4) cos(x) = 0,0670.
СМОТРЕТЬ РЕШЕНИЕ
51.Найдите значение тангенса угла: 1) 10°; 2) 40°40 ; 3) 50°30 ; 4) 70°15 .
СМОТРЕТЬ РЕШЕНИЕ
52.Найдите острый угол x, если: 1) tg(x) = 0,3227; 2) tg(x) = 0,7846; 3) tg(x) = 6.152; 4) tg(x) = 9,254.
СМОТРЕТЬ РЕШЕНИЕ
53.Высота равнобедренного треугольника равна 12,4 м, а основание 40,6 м. Найдите углы треугольника и боковую сторону.
СМОТРЕТЬ РЕШЕНИЕ
54.Отношение катетов прямоугольного треугольника равно 19: 28. Найдите его углы.
СМОТРЕТЬ РЕШЕНИЕ
55.Стороны прямоугольника равны 12,4 и 26. Найдите угол между диагоналями.
СМОТРЕТЬ РЕШЕНИЕ
56.Диагонали ромба равны 4,73 и 2,94. Найдите его углы.
СМОТРЕТЬ РЕШЕНИЕ
57.Сторона ромба 241 м, высота 120 м. Найдите углы.
СМОТРЕТЬ РЕШЕНИЕ
58.Радиус окружности равен 5 м. Из точки, отстоящей от центра на 13 м, проведены касательные к окружности. Найдите длины касательных и угол между ними.
СМОТРЕТЬ РЕШЕНИЕ
59.Тень от вертикально стоящего шеста, высота которого 7 м, составляет 4 м. Выразите в градусах высоту солнца над горизонтом.
СМОТРЕТЬ РЕШЕНИЕ
60.Основание равнобедренного прямоугольного треугольника равно a. Найдите боковую сторону.
СМОТРЕТЬ РЕШЕНИЕ
61.Найдите неизвестные стороны и острые углы прямоугольного треугольника по следующим данным: 1) по двум катетам: а) a = 3, b = 4; б) a = 9, b = 40; в) a = 20, b = 21; г) a = 11, b = 60; 2) по гипотенузе и катету: а) c = 13, a =-5; б) c = 25, a = 7; в) a = 17, a = 8; г) c = 85, a = 84; 3) по гипотенузе и острому углу: а) c = 2, α = 20°; б) c = 4, α = 50°20 ; в) c = 8, a = 70°36 ; г) c = 16, α = 76°21 ; 4) по катету и противолежащему углу: а) a = 3, α = 30°27 ; б) a = 5, α = 40°48 ; в) a = 7, α = 60°85 ; г) a = 9, α = 68° .
СМОТРЕТЬ РЕШЕНИЕ
62.Упростите выражения: 1) 1 - sin2α; 2) (1 - cosα)(1 + cosα); 3) 1 + sin2α + cos2α; 4)sinα - sinα*cos2α 5)sin4α + cos2α + 2sin2α * cos2α 6)tg2α - sin2α * tg2α 7)cos2α + tg2α * cos2α 8)tg2α(2cos2α + sin2α - 1) 9)(1 - tg2α + tg4α) / cos2α
СМОТРЕТЬ РЕШЕНИЕ
63.Вычислите значения sin(α) и tg(α), если:1) cos(α) = 5/13; 2) cos(α) = 15/17; 3) cos(α) = 0,6
СМОТРЕТЬ РЕШЕНИЕ
64.Найдите cos(α) и tg(α), если:1) sin(α) = 3/5; 2) sin(α) = 40/41; 3) sin(α) = 0,8
СМОТРЕТЬ РЕШЕНИЕ
65. Постройте угол α, если известно, что: 1) cos(α) = 4/7; 2) sin(α) = 4/7; 3) sin(α) = 0,5; 4) tg(α) = 3/5; 5) tg(α) = 0,7;
СМОТРЕТЬ РЕШЕНИЕ
66. В прямоугольном треугольнике с гипотенузой a и углом 60° найдите катет, противолежащий этому углу.
СМОТРЕТЬ РЕШЕНИЕ
67. Найдите радиус r окружности, вписанной в равносторонний треугольник со стороной a, и радиус R окружности, описанной около него.
СМОТРЕТЬ РЕШЕНИЕ
68. В треугольнике один из углов при основании равен 45°, а высота делит основание на части 20 см и 21 см. Найдите большую боковую сторону
СМОТРЕТЬ РЕШЕНИЕ
69. У треугольника одна из сторон равна 1 м, а прилежащие к ней углы равны 30° и 45°. Найдите другие стороны треугольника.
СМОТРЕТЬ РЕШЕНИЕ
70. Диагональ прямоугольника в два раза больше одной из его сторон. Найдите углы между диагоналями.
СМОТРЕТЬ РЕШЕНИЕ
71. Диагонали ромба равны a и a√3 . Найдите углы ромба.
СМОТРЕТЬ РЕШЕНИЕ
72. Какой из углов больше α или β, если: 1) sin(α) = 1/3, sin(β) = 1/4; 2) sin(α) = 2/3, sin(β) = 3/4; 3) cos(α) = 3/7, cos(β) = 2/5; 4) cos(α) = 0,75, cos(β) = 0,74; 5) tg(α) = 2,1, tg(β) = 2,5; 6) tg(α) = 8/3, tg(β) = 5/2;
СМОТРЕТЬ РЕШЕНИЕ
73. У прямоугольного треугольника ABC угол A больше угла B. Какой из катетов больше — AC или BC?
СМОТРЕТЬ РЕШЕНИЕ
74. У прямоугольного треугольника ABC катет BC больше катета AC. Какой угол больше — A или B?
СМОТРЕТЬ РЕШЕНИЕ | |
| Декартовы координаты на плоскости
1. Проведите оси координат, выберите единицу длины на осях, постройте точки с координатами (1;2), (-2;1), (-1;-3), (2;-1)
СМОТРЕТЬ РЕШЕНИЕ
3. На прямой, параллельной оси x, взяты две точки. У одной из них ордината y = 2. Чему равна ордината другой точки?
СМОТРЕТЬ РЕШЕНИЕ
4. На прямой, перпендикулярной оси x, взяты две точки.У одной из них абсцисса x = 3. Чему равна абсцисса другой точки?
СМОТРЕТЬ РЕШЕНИЕ
5. Из точки A(2; 3) опущен перпендикуляр на ось x. Найдите координаты основания перпендикуляра.
СМОТРЕТЬ РЕШЕНИЕ
6. Через точку A (2; 3) проведена прямая, параллельная оси x. Найдите координаты точки пересечения ее с осью y.
СМОТРЕТЬ РЕШЕНИЕ
7. Найдите геометрическое место точек плоскости xy, для которых абсцисса x = 3.
СМОТРЕТЬ РЕШЕНИЕ
8. Найдите геометрическое место точек плоскости xy, для которых |x| = 3.
СМОТРЕТЬ РЕШЕНИЕ
9. Даны точки A (-3; 2) и B (4; 1). Докажите, что отрезок AB пересекает ось y, но не пересекает ось x.
СМОТРЕТЬ РЕШЕНИЕ
10. Какую из полуосей оси y (положительную или отрицательную) пересекает отрезок AB в предыдущей задаче?
СМОТРЕТЬ РЕШЕНИЕ
11. Найдите расстояние от точки (-3; 4) до: 1) оси x; 2) оси y.
СМОТРЕТЬ РЕШЕНИЕ
12. Найдите координаты середины отрезка AB, если: 1) A (1; -2), B (5; 6); 2) A (-3; 4), B (1; 2); 3) A (5; 7), B (-3; -5). 4) A (1; -2); B (5; 6).
СМОТРЕТЬ РЕШЕНИЕ
13. Точка C — середина отрезка AB. Найдите координаты второго конца отрезка AB, если: 1) A (0; 1), C (-1; 2); 2) A (-1; 3), C (1; -1); 3) A (0; 0), C (-2; 2).
СМОТРЕТЬ РЕШЕНИЕ
14. Докажите, что четырехугольник ABCD с вершинами в точках A (-1; -2), B (2; -5), C (1; -2), D (-2; 1) является параллелограммом. Найдите точку пересечения его диагоналей.
СМОТРЕТЬ РЕШЕНИЕ
15. Даны три вершины параллелограмма ABCD: A (1; 0), B (2; 3), C (3; 2). Найдите координаты четвертой вершины D и точки пересечения диагоналей.
СМОТРЕТЬ РЕШЕНИЕ
16. Найдите середины сторон треугольника с вершинами в точках O (0; 0), A (0; 2), B (-4; 0).
СМОТРЕТЬ РЕШЕНИЕ
17. Даны три точки A (4; -2), B (1; 2), C (-2; 6). Найдите расстояния между этими точками, взятыми попарно.
СМОТРЕТЬ РЕШЕНИЕ
18. Докажите, что точки A, B, С в задаче 17 лежат на одной прямой. Какая из них лежит между двумя другими?
СМОТРЕТЬ РЕШЕНИЕ
19. Найдите на оси x точку, равноудаленную от точек (1; 2) и (2; 3).
СМОТРЕТЬ РЕШЕНИЕ
20. Найдите точку, равноудаленную от осей координат и от точки (3; 6).
СМОТРЕТЬ РЕШЕНИЕ
21. Докажите, что четырехугольник ABCD с вершинами в точках A (4; 1), B (0; 4), C (-3; 0), D (1; -3) является квадратом.
СМОТРЕТЬ РЕШЕНИЕ
22. Докажите, что четыре точки (1; 0), (-1; 0), (0; 1), (0; -1) являются вершинами квадрата.
СМОТРЕТЬ РЕШЕНИЕ
23. Какие из точек (1; 2), (3; 4), (-4; 3), (0; 5), (6; -1) лежат на окружности, заданной уравнением x2 + y2 = 25?
СМОТРЕТЬ РЕШЕНИЕ
24. Найдите на окружности, заданной уравнением x2 + y2 = 169, точки: 1) с абсциссой 5; 2) с ординатой -12.
СМОТРЕТЬ РЕШЕНИЕ
25. Даны точки A (2; 0) и B (-2; 6). Составьте уравнение окружности, диаметром которой является отрезок AB.
СМОТРЕТЬ РЕШЕНИЕ
26. Даны точки A (-1; -1) и C (-4; 3). Составьте уравнение окружности с центром в точке C, проходящей через точку A.
СМОТРЕТЬ РЕШЕНИЕ
27. Найдите центр окружности на оси x, если известно, что окружность проходит через точку (1; 4) и радиус окружности равен 5.
СМОТРЕТЬ РЕШЕНИЕ
28. Составьте уравнение окружности с центром в точке (1;2), касающейся оси x.
СМОТРЕТЬ РЕШЕНИЕ
29. Составьте уравнение окружности с центром (-3; 4), проходящей через начало координат.
СМОТРЕТЬ РЕШЕНИЕ
30. Какая геометрическая фигура задана уравнением x2 + y2 + ax + by + c = 0, a2/4 + b2/4 - c > 0
СМОТРЕТЬ РЕШЕНИЕ
31. Найдите координаты точек пересечения двух окружностей: x2 + y2 = 1, x2 + y2 - 2x +y - 2 = 0
СМОТРЕТЬ РЕШЕНИЕ
32. Найдите координаты точек пересечения окружности x2 + y2 - 8x - 8y + 7 = 0 с осью x.
СМОТРЕТЬ РЕШЕНИЕ
33. Докажите, что окружность x2 + y2 + 2ax + 1 = 0, | a | > 1 не пересекается с осью y.
СМОТРЕТЬ РЕШЕНИЕ
34. Докажите, что окружность x2 + y2 + 2ax = 0 касается оси y, а≠0.
СМОТРЕТЬ РЕШЕНИЕ
35. Составьте уравнение прямой, которая проходит через точки A (-1; 1), B (1; 0).
СМОТРЕТЬ РЕШЕНИЕ
36. Составьте уравнение прямой AB, если: 1) A (2; 3), B (3; 2); 2) A (4; -1). B (-6; 2); 3) A (5; -3), B (-1; -2).
СМОТРЕТЬ РЕШЕНИЕ
37. Составьте уравнения прямых, содержащих стороны треугольника OAB в задаче 16.
СМОТРЕТЬ РЕШЕНИЕ
38. Чему равны координаты a и b в уравнении прямой ax + by = 1, если известно, что она проходит через точки (1; 2) и (2; 1)?
СМОТРЕТЬ РЕШЕНИЕ
39. Найдите точки пересечения с осями координат прямой, заданной уравнением: 1) x + 2y + 3 = 0; 2) 3x + 4y = 12; 3) 3x - 2y + 6 = 0; 4) 4x - 2y-10 = 0.
СМОТРЕТЬ РЕШЕНИЕ
40. Найдите точку пересечения прямых, заданных уравнениями: 1) x + 2y + 3 = 0, 4x + 5y + 6 = 0; 2) 3x - у - 2 = 0, 2x + y -8 = 0; 3) 4x + 5y + 8 = 0, 4x - 2y - 6 = 0.
СМОТРЕТЬ РЕШЕНИЕ
41. Докажите, что три прямые x + 2y = 3, 2x - y = 1 и 3x + y = 4 пересекаются в одной точке.
СМОТРЕТЬ РЕШЕНИЕ
42. Найдите координаты точки пересечения медиан треугольника с вершинами (1; 0), (2; 3), (3; 2).
СМОТРЕТЬ РЕШЕНИЕ
43. Докажите, что прямые, заданные уравнениями y = kx + l1, y = kx + l2 при l1≠l2 параллельны.
СМОТРЕТЬ РЕШЕНИЕ
44. Среди прямых, заданных уравнениями, укажите пары параллельных прямых: 1) x + y = 1; 2) y - x = 1; 3) x - y = 2; 4) y = 4; 5) y = 3; 6) 2x + 2y + 3 = 0.
СМОТРЕТЬ РЕШЕНИЕ
45. Составьте уравнение прямой, которая параллельна оси у и проходит через точку (2; -8).
СМОТРЕТЬ РЕШЕНИЕ
46. Составьте уравнение прямой, параллельной оси x и проходящей через точку (2; 3).
СМОТРЕТЬ РЕШЕНИЕ
47. Составьте уравнение прямой, проходящей через начало координат и точку (2; 3).
СМОТРЕТЬ РЕШЕНИЕ
48. Найдите угловые коэффициенты прямых из задачи 39.
СМОТРЕТЬ РЕШЕНИЕ
49. Найдите острые углы, которые образует заданная прямая с осью x: 1) 2y = 2x + 3; 2) x√3 - y = 2; 3) x + √3 + 1-0.
СМОТРЕТЬ РЕШЕНИЕ
50. Найдите точки пересечения окружности x2 + y2 = 1 с прямой: 1) y = 2x + 1; 2) y = x + 1; 3) у = 3x + 1; 4) у = kx + 1.
СМОТРЕТЬ РЕШЕНИЕ
51. При каких значениях c прямая x + у + c = 0 и окружность x2 + y2 = 1: 1) пересекаются; 2) не пересекаются; 3) касаются?
СМОТРЕТЬ РЕШЕНИЕ
52. Найдите синус, косинус и тангенс углов: 1) 120°; 2) 135°; 3) 150°.
СМОТРЕТЬ РЕШЕНИЕ
53. Найдите: 1) sin 160°; 2) cos 140° 3) tg 130°.
СМОТРЕТЬ РЕШЕНИЕ
54. Найдите синус, косинус и тангенс углов: 1) 40°; 2) 14°36 ; 3) 70°20 ; 4)30°1б ; 5) 130°; 6) 150°30 ; 7) 150°33 ; 8) 170°28 .
СМОТРЕТЬ РЕШЕНИЕ
55. Найдите углы, для которых: 1) sin α= 0,2; 2) cos α = -0,7; 3) tg α = -0,4.
СМОТРЕТЬ РЕШЕНИЕ
56. Найдите sin α и tg α, если: 1) соs(α) = 1/3; 2) cos(α) = -0,5; 3) соs(α) = √2/2; 4) соs(α) =-√3/2.
СМОТРЕТЬ РЕШЕНИЕ
57. Найдите cos(α) и tg(α), если: 1) sin(α) = 0,6, 0 < α <90°; 2) sin(α) = 1/3, 90< α <180°; 3) sin(α) = 1/√2 , 0< α <180°.
СМОТРЕТЬ РЕШЕНИЕ
58. Известно, что tg α= - 5/12. Найдите sin α и cos α.
СМОТРЕТЬ РЕШЕНИЕ
59. Постройте угол α если известно, что sin α = 3/5
СМОТРЕТЬ РЕШЕНИЕ
60. Постройте угол α если известно, что cos α = -3/5
СМОТРЕТЬ РЕШЕНИЕ
61. Докажите, что если cos α = cos β, то α = β.
СМОТРЕТЬ РЕШЕНИЕ
62. Докажите, что если sin α = sin β, то либо α = β, либо α = 180° - β.
СМОТРЕТЬ РЕШЕНИЕ | |
| Движение
1. Докажите, что при движении параллелограмм переходит в параллелограмм
СМОТРЕТЬ РЕШЕНИЕ
2. В какую фигуру переходит при движении квадрат? Объясните ответ.
СМОТРЕТЬ РЕШЕНИЕ
3. Даны точки А и B. Постройте точку B , симметричную точке В относительно точки А
СМОТРЕТЬ РЕШЕНИЕ
4. Решите предыдущую задачу, пользуясь только циркулем.
СМОТРЕТЬ РЕШЕНИЕ
5. Докажите, что центр окружности является ее центром симметрии.
СМОТРЕТЬ РЕШЕНИЕ
6. При симметрии относительно некоторой точки точка X переходит в точку X. Постройте точку, в которую при этой симметрии переходит точка Y.
СМОТРЕТЬ РЕШЕНИЕ
7. Может ли у треугольника быть центр симметрии?
СМОТРЕТЬ РЕШЕНИЕ
8. Докажите, что у параллелограмма точка пересечения диагоналей является центром симметрии
СМОТРЕТЬ РЕШЕНИЕ
9. Докажите, что четырехугольник, у которого есть центр симметрии, является параллелограммом
СМОТРЕТЬ РЕШЕНИЕ
10. Даны пересекающиеся прямые и точка, не лежащая на этих прямых. Постройте отрезок с концами на данных прямых и серединой в данной точке
СМОТРЕТЬ РЕШЕНИЕ
11. Что представляет собой фигура, симметричная относительно данной точки: 1) отрезку; 2) углу; 3) треугольнику?
СМОТРЕТЬ РЕШЕНИЕ
12. Даны точки A, B, C. Постройте точку C , симметричную точке C относительно прямой АB
СМОТРЕТЬ РЕШЕНИЕ
13. Решите задачу 12, пользуясь только циркулем
СМОТРЕТЬ РЕШЕНИЕ
14. Чему равны координаты точки, симметричной точке (-3; 4) относительно: 1) оси x; 2) оси y; 3) начала координат?
СМОТРЕТЬ РЕШЕНИЕ
15. При симметрии относительно некоторой прямой точка X переходит в точку X . Постройте точку, в которую при этой симметрии переходит точка Y
СМОТРЕТЬ РЕШЕНИЕ
16. Докажите, что прямая, содержащая биссектрису угла, является его осью симметрии
СМОТРЕТЬ РЕШЕНИЕ
17. Докажите, что прямая, содержащая медиану равнобедренного треугольника, проведенную к основанию, является осью симметрии треугольника
СМОТРЕТЬ РЕШЕНИЕ
18. Докажите, что если у треугольника есть ось симметрии, то: 1) она проходит через одну из его вершин; 2) треугольник равнобедренный.
СМОТРЕТЬ РЕШЕНИЕ
19. Сколько осей симметрии у равностороннего треугольника?
СМОТРЕТЬ РЕШЕНИЕ
20. Докажите, что прямые, проходящие через точку пересечения диагоналей прямоугольника параллельно его сторонам, являются его осями симметрии.
СМОТРЕТЬ РЕШЕНИЕ
21. Докажите, что диагонали ромба являются его осями симметрии.
СМОТРЕТЬ РЕШЕНИЕ
22. Докажите, что диагонали квадрата и прямые, проходящие через точку их пересечения параллельно его сторонам, являются осями симметрии квадрата.
СМОТРЕТЬ РЕШЕНИЕ
23. Докажите, что прямая, проходящая через центр окружности, является ее осью симметрии.
СМОТРЕТЬ РЕШЕНИЕ
24. Даны три попарно пересекающиеся прямые a, b, c. Как построить отрезок, перпендикулярный прямой b, с серединой на прямой b и концами на прямых а и с? Всегда ли задача имеет решение?
СМОТРЕТЬ РЕШЕНИЕ
25. 1) Постройте точку A в которую переходит точка A при повороте около точки O на угол 60° по часовой стрелке. 2) Постройте фигуру, в которую переходит отрезок AB при повороте около точки O на угол 60° по часовой стрелке.
СМОТРЕТЬ РЕШЕНИЕ
26. Постройте фигуру, в которую переходит треугольник ABC при повороте его около вершины С на угол 60°.
СМОТРЕТЬ РЕШЕНИЕ
27. Даны точки A, B, C. Постройте точку C , в которую переходит точка C при параллельном переносе, переводящем точку A в B.
СМОТРЕТЬ РЕШЕНИЕ
28. Параллельный перенос задается формулами x = x + 1, y’ = y-1. В какие точки при этом параллельном переносе переходят точки (0; 0), (1; 0), (0;2)?
СМОТРЕТЬ РЕШЕНИЕ
29. Найдите величины а и b в формулах параллельного переноса x = x + a, y = y + b, если известно, что: 1) точка (1;2) переходит в точку (3;4); 2) точка (2; -3) — в точку (-1;5); 3) точка (-1; -3) — в точку (0; -2).
СМОТРЕТЬ РЕШЕНИЕ
30. При параллельном переносе точка (1;1) переходит в точку (-1; 0). В какую точку переходит начало координат?
СМОТРЕТЬ РЕШЕНИЕ
31. Существует ли параллельный перенос, при котором: 1) точка (1; 2) переходит в точку (З; 4), а точка (0; 1) — в точку (-1; 0); 2) точка (2; - 1) переходит в точку (1; 0), а точка (1; 3) — в точку (0; 4)?
СМОТРЕТЬ РЕШЕНИЕ
32. Прямые AB и CD параллельны. Точки A и D лежат по одну сторону от секущей BC. Докажите, что лучи ВА и CD одинаково направлены.
СМОТРЕТЬ РЕШЕНИЕ
33. Докажите, что в задаче 32 лучи ВА и CD противоположно направлены, если точки А и D лежат по разные стороны от секущей BC.
СМОТРЕТЬ РЕШЕНИЕ
34. Четырехугольник ABCD — параллелограмм. Среди лучей AB, BA, BC, CB, CD, DC, AD, DA назовите пары одинаково и противоположно направленных лучей.
СМОТРЕТЬ РЕШЕНИЕ
35. Докажите, что отрезки равной длины и углы с равной градусной мерой совмещаются движением.
СМОТРЕТЬ РЕШЕНИЕ
36. У параллелограммов ABCD и A1B1C1D1 AB = A1B1, AD = A1D1 и ∠A = ∠A1. Докажите, что параллелограммы равны, то есть совмещаются движением.
СМОТРЕТЬ РЕШЕНИЕ
37. Докажите, что ромбы равны, если у них равны диагонали.
СМОТРЕТЬ РЕШЕНИЕ
38. Докажите, что две окружности одинакового радиуса равны, то есть совмещаются движением
СМОТРЕТЬ РЕШЕНИЕ | |
|
|
