|
|
|
Решебник Погорелов онлайн, 9 класс |
Решебник для 9 класса, автор Погорелов, геометрия
|
|
|
|
Подобие фигур
1. При гомотетии точка X переходит в точку X , а точка Y — в точку Y . Как найти центр гомотетии, если точки X, X , Y, Y не лежат на одной прямой?
СМОТРЕТЬ РЕШЕНИЕ
2. При гомотетии точка X переходит в точку X . Постройте центр гомотетии если коэффициент гомотетии равен 2.
СМОТРЕТЬ РЕШЕНИЕ
3. Начертите треугольник. Постройте гомотетичный ему треугольник, приняв за центр гомотетии одну из его вершин и коэффициент гомотетии, равным 2.
СМОТРЕТЬ РЕШЕНИЕ
5. Что представляет собой фигура, подобная треугольнику?
СМОТРЕТЬ РЕШЕНИЕ
6. У подобных треугольников ABC и A1B1C1 ∠А = 30°, AB = 1 м, BC = 2 м, B1C1 = 3 м. Чему равны угол A1 и сторона A1B1?
СМОТРЕТЬ РЕШЕНИЕ
7. Докажите, что фигура, подобная окружности, есть окружность.
СМОТРЕТЬ РЕШЕНИЕ
8. Даны угол и внутри его точка A. Постройте окружность, касающуюся сторон угла и проходящую через точку A.
СМОТРЕТЬ РЕШЕНИЕ
9. Впишите в данный треугольник квадрат, у которого две вершины лежат на одной стороне, а две другие вершины — на двух других сторонах.
СМОТРЕТЬ РЕШЕНИЕ
10. Докажите подобие равнобедренных треугольников с равными углами при вершинах, противолежащих основаниям.
СМОТРЕТЬ РЕШЕНИЕ
11. У двух равнобедренных треугольников углы между боковыми сторонами равны. Боковая сторона и основание одного треугольника равны 17 см и 10 см, основание другого равно 8 см. Найдите его боковую сторону.
СМОТРЕТЬ РЕШЕНИЕ
12. У треугольников ABC и A1B1C1 ∠A = ∠A1, ∠В = ∠B1 AB = 5 м, BC = 7 м, A1B1 = 10 м, A1C1 = 8 м. Найдите остальные стороны треугольников.
СМОТРЕТЬ РЕШЕНИЕ
13. Решите задачу 12 при условии что AB = 16 см, BC = 20 см, A1B1 = 12 см, AC - A1C1 = 6 см.
СМОТРЕТЬ РЕШЕНИЕ
14. Докажите, что высота прямоугольного треугольника, опущенная из вершины прямого угла, разбивает его на два треугольника, подобные исходному.
СМОТРЕТЬ РЕШЕНИЕ
15. Прямая, параллельная стороне AB треугольника ABC, пересекает его сторону AC в точке A1, а сторону BC в точке B1. Докажите, что ΔABC ~ ΔA1B1С.
СМОТРЕТЬ РЕШЕНИЕ
16. В треугольнике с основанием a и высотой h вписан квадрат так, что две его вершины лежат на основании треугольника, а другие две — на боковых сторонах. Вычислите сторону квадрата.
СМОТРЕТЬ РЕШЕНИЕ
17. Прямая, параллельная стороне AB треугольника ABC, делит его сторону AC в отношении m:n, считая от вершины С. В каком отношении она делит сторону ВС?
СМОТРЕТЬ РЕШЕНИЕ
18. В треугольнике ABC проведен отрезок DE, параллельный стороне AC (конец D отрезка лежит на стороне AB, а Е — на стороне ВС). Найдите AD, если AB = 16 см, AC = 20 см и DE = 15 см.
СМОТРЕТЬ РЕШЕНИЕ
19. В задаче 18 найдите отношение AD:BD, если известно, что AC:DE=55:28
СМОТРЕТЬ РЕШЕНИЕ
20. Найдите длину отрезка DE в задаче 18, если:1) AC = 20 см, AB = 17 см и BD = 11,9 см; 2) AC = 18 дм, AB = 15 дм и AD = 10 дм.
СМОТРЕТЬ РЕШЕНИЕ
21. Диагонали трапеции ABCD пересекаются в точке E. Докажите подобие треугольников DCT и DAE.
СМОТРЕТЬ РЕШЕНИЕ
22. Найдите отношение отрезков диагонали трапеции, на которые она разбивается другой диагональю, если основания трапеции относятся как m:n.
СМОТРЕТЬ РЕШЕНИЕ
23. Прямая, проходящая через точку пересечения диагоналей трапеции, делит одно основание в отношении m:n. В каком отношении она делит другое основание?
СМОТРЕТЬ РЕШЕНИЕ
24. B трапеции ABCD с диагональю AC углы ABC и ACD равны. Найдите диагональ AC, если основания BC и AD соответственно равны 12 м и 27 м.
СМОТРЕТЬ РЕШЕНИЕ
25. Линия, параллельная основаниям трапеции, делит одну боковую сторону в отношении m:n. B каком отношении делит она вторую боковую сторону?
СМОТРЕТЬ РЕШЕНИЕ
26 . Продолжения боковых сторон AB и CD трапеции ABCD пересекаются в точке E. Найдите стороны треугольника AED, если AB = 5 см, BC =10 см, CD = 6 см, AD = 15 см.
СМОТРЕТЬ РЕШЕНИЕ
27 . Найдите высоту треугольника AED из задачи № 26, опущенную на сторону AD, если BC=7 см, AD=21 см и высота трапеции равна 3 см.
СМОТРЕТЬ РЕШЕНИЕ
28 . Диагонали трапеции пересекаются в точке E, а продолжения боковых сторон пересекаются в точке F. Докажите что прямая EF делит основания трапеции пополам
СМОТРЕТЬ РЕШЕНИЕ
29 . У равнобедренного треугольника ABC с основанием AC и противолежащим углом 36° проведена биссектриса AD. 1) Докажите подобие треугольников ABC и CAD. 2) Найдите основание треугольника ABC, если его боковая сторона равна a. AB = BC = a.
СМОТРЕТЬ РЕШЕНИЕ
30 . Углы B и B1 треугольников ABC и A1B1C1 равны. Стороны треугольника ABC, прилежащие к углу B, в 2,5 раза больше сторон треугольника A1B1C1, прилежащих к углу B1. Найдите AC и A1C1, если их сумма равна 4,2 м.
СМОТРЕТЬ РЕШЕНИЕ
32 . В остроугольном треугольнике ABC проведены высоты AD, BE, CF. Найдите углы треугольника DEF, зная углы треугольника ABC.
СМОТРЕТЬ РЕШЕНИЕ
33 . Докажите, что биссектрисы треугольника DEF в задаче № 32 лежат на высотах треугольника ABC.
СМОТРЕТЬ РЕШЕНИЕ
34 . Подобны ли два равносторонних треугольника?
СМОТРЕТЬ РЕШЕНИЕ
35 . Подобны ли треугольники ABC и A1B1C1, если:1) AB = 1 м, AC = 1,5 м, BC = 2 м; A1B1 = 10 см, A1C1 = 15 см, B1C1 =20 см; 2) AB = 1 м, AC = 2 м, BC = 1,5 м; A1B1 = 8 дм, A1C1 = 16 дм, B1C1 =12 дм; 3) AB = 1 м, AC = 2 м, BC = 1,25 м; A1B1 = 10 см, A1C1 = 20 см, B1C1 =30 см;
СМОТРЕТЬ РЕШЕНИЕ
37 . Стороны треугольника равны 0,8 м, 1,6 ми 2 м. Найдите стороны подобного ему треугольника, периметр которого равен 5,5 м.
СМОТРЕТЬ РЕШЕНИЕ
38 . Периметр одного треугольника составляет 11/13 периметра подобного ему треугольника. Разность двух соответствующих сторон равна 1 м. Найдите эти стороны.
СМОТРЕТЬ РЕШЕНИЕ
39 . Подобны ли два прямоугольных треугольника, если у одного из них есть угол 40°, а у другого — угол, равный: 1) 50°; 2) 60°?
СМОТРЕТЬ РЕШЕНИЕ
40 . Основание высоты прямоугольного треугольника, опущенной на гипотенузу, делит ее на отрезки 9 см и 16 см. Найдите стороны треугольника.
СМОТРЕТЬ РЕШЕНИЕ
41 . Гипотенуза прямоугольного треугольника равна 25 см, а один из катетов равен 10 см. Найдите проекцию другого катета на гипотенузу.
СМОТРЕТЬ РЕШЕНИЕ
42 . Докажите, что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны.
СМОТРЕТЬ РЕШЕНИЕ
43 . Катеты прямоугольного треугольника относятся как m:n. Как относятся проекции катетов на гипотенузу?
СМОТРЕТЬ РЕШЕНИЕ
44 . Длина тени фабричной трубы равна 35,8 м; в это же время вертикально воткнутый в землю кол высотой 1,9 м дает тень длиной 1,62 м. Найдите высоту трубы.
СМОТРЕТЬ РЕШЕНИЕ
45 . В треугольник ABC вписан ромб ADEF так, что угол А у них общий, а вершина E находится на стороне BC. Найдите сторону ромба, если AB = с и AC = b.
СМОТРЕТЬ РЕШЕНИЕ
46 . Биссектриса внешнего угла треугольника ABC при вершине С пересекает прямую AB в точке D. Докажите, что AD:BD = АС:ВС.
СМОТРЕТЬ РЕШЕНИЕ
47 . Докажите, что геометрическое место точек, отношение расстояний от которых до двух данных точек постоянно (не равно единице), есть окружность.
СМОТРЕТЬ РЕШЕНИЕ
48 . Найдите дополнительные плоские углы, зная, что: 1) один из них в 5 раз больше другого; 2) один из них на 100° больше другого; 3) разность их равна 20°.
СМОТРЕТЬ РЕШЕНИЕ
49. Точки A, B, С лежат на окружности. Чему равна хорда AC, если угол ABC равен 30°, а диаметр окружности 10 см?
СМОТРЕТЬ РЕШЕНИЕ
50. Точки A, B, С лежат на окружности. Чему равен угол ABC, если хорда AC равна радиусу окружности? (Два случая.)
СМОТРЕТЬ РЕШЕНИЕ
51. Докажите, что центром окружности, описанной около прямоугольного треугольника, является середина гипотенузы.
СМОТРЕТЬ РЕШЕНИЕ
52. Докажите, что медиана прямоугольного треугольника, проведенная к гипотенузе, разбивает его на два равнобедренных треугольника.
СМОТРЕТЬ РЕШЕНИЕ
53. Постройте прямоугольный треугольник по гипотенузе и высоте, опущенной из вершины прямого угла на гипотенузу.
СМОТРЕТЬ РЕШЕНИЕ
54. На окружности отмечены четыре точки A, B, C, D. Чему равен угол ADC, если угол ABC равен a? (Два случая.)
СМОТРЕТЬ РЕШЕНИЕ
55. Хорды окружности AD и BC пересекаются. Угол ABC равен 50°, угол ACD равен 80°. Найдите угол CAD.
СМОТРЕТЬ РЕШЕНИЕ
56. Докажите, что у четырехугольника, вписанного в окружность, сумма противолежащих углов равна 180°.
СМОТРЕТЬ РЕШЕНИЕ
57. Докажите, что геометрическое место вершин прямых углов, стороны которых проходят через две данные точки, есть окружность.
СМОТРЕТЬ РЕШЕНИЕ
58. Докажите, что геометрическое место вершин углов с заданной градусной мерой, стороны которых проходят через две данные точки, а вершины лежат по одну сторону от прямой, соединяющей эти точки, есть дуга окружности с концами в этих точках.
СМОТРЕТЬ РЕШЕНИЕ
59. Докажите, что острый угол между хордой окружности и касательной к окружности в конце хорды равен половине угла между радиусами, проведенными к концам хорды.
СМОТРЕТЬ РЕШЕНИЕ
60. Постройте треугольник по стороне, противолежащему ей углу и высоте, проведенной из вершины этого угла.
СМОТРЕТЬ РЕШЕНИЕ
61. Из точки C окружности проведен перпендикуляр CD к диаметру AB. Докажите, что CD2 = AD.BD. Пусть AB — диаметр окружности; CD ⊥ AB.
СМОТРЕТЬ РЕШЕНИЕ
62. Докажите, что произведение отрезков секущей окружности равно квадрату отрезка касательной, проведенной из той же точки: АС*BC = CD2.
СМОТРЕТЬ РЕШЕНИЕ
63. Как далеко видно из самолета, летящего на высоте 4 км над Землей, если радиус Земли 6370 км?
СМОТРЕТЬ РЕШЕНИЕ
64. Bычислите радиус горизонта, видимого с вершины телебашни в Останкине, высота которой 537 м.
СМОТРЕТЬ РЕШЕНИЕ | |
| Решение треугольников
1. Стороны треугольника 5 м, 6 м, 7 м. Найдите косинусы углов треугольника.
СМОТРЕТЬ РЕШЕНИЕ
2. У треугольника две стороны равны 5 м и 6 м, а синус угла между ними равен 0,6. Найдите третью сторону.
СМОТРЕТЬ РЕШЕНИЕ
3. Стороны треугольника равны a b c. Докажите, что если a2 + b2 > с2 , то угол, противолежащий стороне c, острый. Если a2 + b2 < c2, то угол, противолежащий стороне c, тупой.
СМОТРЕТЬ РЕШЕНИЕ
4. Даны диагонали параллелограмма c и d и угол между ними α. Найдите стороны параллелограмма.
СМОТРЕТЬ РЕШЕНИЕ
5. Даны стороны параллелограмма a и b и один из углов α. Найдите диагонали параллелограмма.
СМОТРЕТЬ РЕШЕНИЕ
6. Стороны треугольника 4 м, 5 м и 6 м. Найдите проекции сторон 4 м и 5 м на прямую, содержащую сторону 6 м.
СМОТРЕТЬ РЕШЕНИЕ
8. Найдите высоты треугольника в задаче 1.
СМОТРЕТЬ РЕШЕНИЕ
9. Найдите медианы треугольника в задаче № 1
СМОТРЕТЬ РЕШЕНИЕ
10. Найдите биссектрисы треугольника в задаче № 1.
СМОТРЕТЬ РЕШЕНИЕ
11. Как изменяется сторона AB треугольника ABC, если угол C возрастает, а длины сторон AC и BC остаются без изменений?
СМОТРЕТЬ РЕШЕНИЕ
12. У треугольника ABC AB = 15 см, AC = 10 см. Может ли sin b = 3/4
СМОТРЕТЬ РЕШЕНИЕ
14. Как найти радиус окружности, описанной около треугольника, зная его стороны? Найдите радиус окружности, описанной около треугольника со сторонами 5 м, 6 м, 7 м.
СМОТРЕТЬ РЕШЕНИЕ
15. Объясните, как найти расстояние от точки A до недоступной точки B, зная расстояние AC и углы а и b.
СМОТРЕТЬ РЕШЕНИЕ
16. Объясните, как найти высоту x здания по углам а и b и расстоянию a.
СМОТРЕТЬ РЕШЕНИЕ
18. В треугольнике ABC ∠A = 40°, ∠B = 60°, ∠C = 80°. Какая из сторон треугольника наибольшая, какая — наименьшая?
СМОТРЕТЬ РЕШЕНИЕ
19. У треугольника ABC стороны AB = 5,1 м, BC = 6,2 м, AC = 7,3 м. Какой из углов треугольника наибольший, какой — наименьший?
СМОТРЕТЬ РЕШЕНИЕ
20. Что больше — основание или боковая сторона равнобедренного треугольника, если прилежащий к основанию угол больше 60°?
СМОТРЕТЬ РЕШЕНИЕ
21. У треугольника ABC угол C тупой. Докажите, что если точка X лежит на стороне AC, то BX < AB.
СМОТРЕТЬ РЕШЕНИЕ
22. У треугольника ABC угол C тупой. Докажите, что если точка X лежит на стороне AC, а точка Y — на стороне BC, то XY < AB.
СМОТРЕТЬ РЕШЕНИЕ
23. На стороне AB треугольника ABC отмечена точка D. Докажите, что отрезок CD меньше по крайней мере одной из сторон: AC или BC.
СМОТРЕТЬ РЕШЕНИЕ
24. Дан треугольник ABC, CD — медиана, проведенная к стороне AB. Докажите, что если AC > BC, то угол ACD меньше угла BCD.
СМОТРЕТЬ РЕШЕНИЕ
25. Докажите, что биссектриса треугольника не меньше высоты и не больше медианы, проведенных из этой же вершины.
СМОТРЕТЬ РЕШЕНИЕ
26. Даны сторона и два угла треугольника. Найдите третий угол и остальные две стороны, если: 1) a=5, β=30 γ=45 2)a=20, α=75 β=60 3)a=35, β=40 γ=120 4)b=12, α=36 β=25 5)c=14, α=64 β=48
СМОТРЕТЬ РЕШЕНИЕ
27. Даны две стороны и угол между ними. Найдите остальные два угла и третью сторону, если: 1) a = 12, b = 8, γ = 60°; 2) a=7,b = 23,γ = 130°; 3) b= 9, c = 17,α = 95°; 4) b= 14,c = 10, α = 145°; 5) a = 32, c = 23, β = 152°; 6) a = 24, c = 18, β = 15°.
СМОТРЕТЬ РЕШЕНИЕ
28. B треугольнике заданы две стороны и угол, противолежащий одной из сторон. Найдите остальные углы и сторону треугольника, если: 1) a= 12,b =5, α= 120°; 2) a = 27, b = 9, α = 138°; 3) a = 34, b= 12, α = 164°; 4) a = 2, b = 4, α = 60°; 5) a = 6, b = 8, α = 30°.
СМОТРЕТЬ РЕШЕНИЕ
29. Даны три стороны треугольника. Найдите его углы, если: 1) a = 2, b = 3, c = 4; 2) a = 7, b = 2, c = 8; 3) a = 4, b = 5, c = 7; 4) a= 15,b = 24,c = 18; 5)a = 23, b = 17, c = 39; 6) a = 55, b = 21, c = 38.
СМОТРЕТЬ РЕШЕНИЕ | |
| Многоугольники
1. Даны две окружности с радиусами R1 и R2 и расстояние между центрами d > R1 + R2. Чему равны наибольшее и наименьшее расстояния между точками X и Y этих окружностей.
СМОТРЕТЬ РЕШЕНИЕ
2. Решите задачу 1 при условии, что d < R1 - R2.
СМОТРЕТЬ РЕШЕНИЕ
3. Докажите, что если вершины ломаной не лежат на одной прямой, то длина ломаной больше длины отрезка, соединяющего ее концы.
СМОТРЕТЬ РЕШЕНИЕ
4. Докажите, что у замкнутой ломаной расстояние между любыми двумя вершинами не больше половины длины ломаной.
СМОТРЕТЬ РЕШЕНИЕ
5. Докажите, что у замкнутой ломаной длина каждого звена не больше суммы длин остальных звеньев.
СМОТРЕТЬ РЕШЕНИЕ
6. Может ли замкнутая ломаная иметь звенья длиной 1 м, 2 м, 3 м, 4 м, 11 м? Объясните ответ.
СМОТРЕТЬ РЕШЕНИЕ
7. Докажите, что если концы ломаной лежат по разные стороны от данной прямой, то она пересекает эту прямую.
СМОТРЕТЬ РЕШЕНИЕ
8. Сколько диагоналей у n-угольника?
СМОТРЕТЬ РЕШЕНИЕ
10. Углы выпуклого четырехугольника пропорциональны числам 1, 2, 3, 4. Найдите их.
СМОТРЕТЬ РЕШЕНИЕ
11. Докажите, что у четырехугольника, описанного около окружности, суммы длин противолежащих сторон равны.
СМОТРЕТЬ РЕШЕНИЕ
12. Сколько сторон имеет правильный многоугольник, каждый из внутренних углов которого равен: 1) 135°? 2) 150°?
СМОТРЕТЬ РЕШЕНИЕ
13. Сколько сторон имеет правильный многоугольник, если каждый из внешних его углов равен: 1) 36°; 2) 24°?
СМОТРЕТЬ РЕШЕНИЕ
14. Докажите, что взятые через одну вершины правильного 2n-угольника являются вершинами правильного n-угольника
СМОТРЕТЬ РЕШЕНИЕ
15. Докажите, что середины сторон правильного n-угольника являются вершинами другого правильного n-угольника.
СМОТРЕТЬ РЕШЕНИЕ
17. Хорда, перпендикулярная радиусу и проходящая через его середину, равна стороне правильного вписанного треугольника. Докажите.
СМОТРЕТЬ РЕШЕНИЕ
18. У правильного треугольника радиус вписанной окружности в два раза меньше радиуса описанной окружности. Докажите.
СМОТРЕТЬ РЕШЕНИЕ
19. Сторона правильного вписанного в окружность треугольника равна a. Найдите сторону квадрата, вписанного в эту окружность.
СМОТРЕТЬ РЕШЕНИЕ
20. В окружность, радиус которой 4 дм, вписан правильный треугольник, на стороне которого построен квадрат. Найдите радиус окружности, описанной около квадрата.
СМОТРЕТЬ РЕШЕНИЕ
21. Конец валика диаметром 4 см опилен под квадрат. Определите наибольший размер, который может иметь сторона квадрата.
СМОТРЕТЬ РЕШЕНИЕ
22. Конец винта газовой задвижки имеет правильную трехгранную форму. Какой наибольший размер может иметь каждая грань, если цилиндрическая часть винта имеет диаметр 2 см?
СМОТРЕТЬ РЕШЕНИЕ
23. Докажите, что сторона правильного 8-угольника вычисляется по формуле a8 = R(2-2) где R — радиус описанной окружности.
СМОТРЕТЬ РЕШЕНИЕ
24. Докажите, что сторона правильного 12-угольника вычисляется по формуле a12 = R(2-3) где R - радиус описанной окружности.
СМОТРЕТЬ РЕШЕНИЕ
25. Найдите стороны правильного пятиугольника и правильного 10-угольника, вписанных в окружность радиуса R.
СМОТРЕТЬ РЕШЕНИЕ
26. Сторона правильного многоугольника равна a, а радиус описанной окружности R. Найдите радиус вписанной окружности.
СМОТРЕТЬ РЕШЕНИЕ
27. Сторона правильного многоугольника равна a, а радиус вписанной окружности r. Найдите радиус описанной окружности.
СМОТРЕТЬ РЕШЕНИЕ
28. Выразите сторону b правильного описанного многоугольника через радиус R окружности и сторону a правильного вписанного многоугольника с тем же числом сторон.
СМОТРЕТЬ РЕШЕНИЕ
29. Выразите сторону a правильного вписанного многоугольника через радиус R окружности и сторону b правильного описанного многоугольника с тем же числом сторон.
СМОТРЕТЬ РЕШЕНИЕ
30. Впишите в окружность правильный 12-угольник.
СМОТРЕТЬ РЕШЕНИЕ
31. Опишите около окружности правильный треугольник, квадрат, правильный восьмиугольник.
СМОТРЕТЬ РЕШЕНИЕ
32. Радиусы вписанной и описанной окружностей одного правильного n-угольника равны r1 и R1, а радиус вписанной окружности другого правильного n-угольника равен r2;. Чему равен радиус описанной окружности другого n-угольника?
СМОТРЕТЬ РЕШЕНИЕ
33. Периметры двух правильных n-угольников относятся как a:b. Как относятся радиусы их вписанных и описанных окружностей?
СМОТРЕТЬ РЕШЕНИЕ
34. Вычислите длину окружности, если радиус равен: 1) 10 м; 2) 15 м.
СМОТРЕТЬ РЕШЕНИЕ
35. На сколько изменится длина окружности, если радиус изменится на 1 мм?
СМОТРЕТЬ РЕШЕНИЕ
36. Найдите отношение периметра правильного вписанного 8-угольника к диаметру и сравните его с приближенным значением π
СМОТРЕТЬ РЕШЕНИЕ
37. Решите задачу № 36 для правильного 12-угольника.
СМОТРЕТЬ РЕШЕНИЕ
38. Найдите радиус земного шара исходя из того, что 1 м составляет одну 40-миллионную долю длины экватора.
СМОТРЕТЬ РЕШЕНИЕ
39. На сколько удлинился бы земной экватор, если бы радиус земного шара увеличился на 1 см?
СМОТРЕТЬ РЕШЕНИЕ
40. Внутри окружности радиуса R расположены n равных окружностей, которые касаются друг друга в данной окружности. Найдите радиус этих окружностей, если число их равно: 1) 3; 2) 4; 3) 6.
СМОТРЕТЬ РЕШЕНИЕ
41. Решите предыдущую задачу, если окружности расположены вне данной окружности.
СМОТРЕТЬ РЕШЕНИЕ
42. Шкив имеет в диаметре 1,4 м и делает 80 оборотов в минуту. Найдите скорость точки на окружности шкива.
СМОТРЕТЬ РЕШЕНИЕ
43. Найдите длину дуги окружности радиуса 1 см, отвечающей центральному углу: 1) 30°; 2) 45°; 3) 120°;
СМОТРЕТЬ РЕШЕНИЕ
44. Сколько градусов содержит центральный угол, если соответствующая ему дуга составляет: 1) 1/23 2) 1/4;
СМОТРЕТЬ РЕШЕНИЕ
45. Какой угол образуют радиусы Земли, проведенные в две точки на ее поверхности, расстояние между которыми равно 1 км? Радиус Земли равен 6370 км.
СМОТРЕТЬ РЕШЕНИЕ
46. По радиусу R = 1 м найдите длину дуги, отвечающей центральному углу: 1) 45°; 2) 30°; 3) 120°; 4) 45°45 ; 5) 60°30 ; 6) 150°36 .
СМОТРЕТЬ РЕШЕНИЕ
47. По данной хорде a найдите длину ее дуги, если градусная мера дуги равна: 1) 60°; 2) 90°; 3) 120°.
СМОТРЕТЬ РЕШЕНИЕ
48. По данной длине дуги l найдите ее хорду, если дуга содержит: 1) 60°; 2) 90°; 3)120°.
СМОТРЕТЬ РЕШЕНИЕ
49. Найдите радианную меру углов: 1) 30°; 2) 45°; 3) 60°.
СМОТРЕТЬ РЕШЕНИЕ
50. Найдите радианную меру углов треугольника ABC, если ∠A = 60°; ∠B = 45°.
СМОТРЕТЬ РЕШЕНИЕ
51. Найдите градусную меру угла, если его радианная мера равна: 1) π/2; 2) π/4; 3) π/8; 4) 5π/6; 5) 7π/18; 6) 4π/3;
СМОТРЕТЬ РЕШЕНИЕ | |
| Площади фигур
1. Докажите, что сумма площадей квадратов, построенных на катетах прямоугольного треугольника, равна площади квадрата, построенного на гипотенузе.
СМОТРЕТЬ РЕШЕНИЕ
2. Стороны двух участков земли квадратной формы равны 100 м и 150 м. Найдите сторону квадратного участка, равновеликого им.
СМОТРЕТЬ РЕШЕНИЕ
3. Найдите площадь квадрата S по его диагонали a.
СМОТРЕТЬ РЕШЕНИЕ
4. Во сколько раз площадь квадрата, описанного около окружности, больше площади квадрата, вписанного в ту же окружность?
СМОТРЕТЬ РЕШЕНИЕ
5. Как изменится площадь квадрата, если каждую его сторону увеличить в 3 раза?
СМОТРЕТЬ РЕШЕНИЕ
6. Во сколько раз надо уменьшить стороны квадрата, чтобы его площадь уменьшилась в 25 раз?
СМОТРЕТЬ РЕШЕНИЕ
7. Чему равны стороны прямоугольника, если они относятся как 4:9, а его площадь 144 м2?
СМОТРЕТЬ РЕШЕНИЕ
8. Чему равны стороны прямоугольника, если его периметр 74 дм, а площадь 3 м2 ?
СМОТРЕТЬ РЕШЕНИЕ
9. Параллелограмм и прямоугольник имеют одинаковые стороны. Найдите острый угол параллелограмма, если площадь его равна половине площади прямоугольника.
СМОТРЕТЬ РЕШЕНИЕ
10. Квадрат и ромб имеют одинаковые периметры. Какая из фигур имеет большую площадь? Объясните ответ.
СМОТРЕТЬ РЕШЕНИЕ
11. Найдите площадь ромба, если его высота 10 см, а острый угол 30°.
СМОТРЕТЬ РЕШЕНИЕ
12. Найдите площадь ромба, если его высота 12 см, а меньшая диагональ 13 см.
СМОТРЕТЬ РЕШЕНИЕ
13. Докажите, что площадь ромба равна половине произведения диагоналей.
СМОТРЕТЬ РЕШЕНИЕ
14. Найдите, стороны ромба, зная, что его диагонали относятся как 1:2, а площадь ромба равна 12 см2.
СМОТРЕТЬ РЕШЕНИЕ
15. Разделите данный треугольник на три равновеликие части прямыми, проходящими через одну вершину.
СМОТРЕТЬ РЕШЕНИЕ
16. Решите предыдущую задачу, взяв вместо треугольника параллелограмм.
СМОТРЕТЬ РЕШЕНИЕ
17. Чему равна площадь равнобедренного треугольника, если его основание 120 м, а боковая сторона 100 м?
СМОТРЕТЬ РЕШЕНИЕ
18. Найдите площадь равнобедренного прямоугольного треугольника с гипотенузой a.
СМОТРЕТЬ РЕШЕНИЕ
19. У треугольника со сторонами 8 см и 4 см проведены высоты к этим сторонам. Высота, проведенная к стороне 8 см, равна 3 см. Чему равна высота, проведенная к стороне 4 см?
СМОТРЕТЬ РЕШЕНИЕ
20. Докажите, что стороны треугольника обратно пропорциональны его высотам, т.е.: a:b:c = 1/ha : 1/hb : 1/hc
СМОТРЕТЬ РЕШЕНИЕ
21. Найдите площадь равностороннего треугольника со стороной a.
СМОТРЕТЬ РЕШЕНИЕ
22. Найдите площадь правильного треугольника, вписанного в круг радиуса R.
СМОТРЕТЬ РЕШЕНИЕ
23. Найдите площадь прямоугольного треугольника, если его высота делит гипотенузу на отрезки 32 см и 18 см.
СМОТРЕТЬ РЕШЕНИЕ
24. Чему равны катеты прямоугольного треугольника, если его гипотенуза равна 73 см, а площадь равна 1320 см2?
СМОТРЕТЬ РЕШЕНИЕ
25. У треугольника ABС AC = a, BC = b. При каком угле C площадь треугольника будет наибольшей?
СМОТРЕТЬ РЕШЕНИЕ
26. Найдите площадь равнобедренного треугольника, у которого боковые стороны равны 1 м, а угол между ними равен 70°.
СМОТРЕТЬ РЕШЕНИЕ
27. Найдите площадь параллелограмма, если его стороны 2 м и 3 м, а один из углов равен 70°.
СМОТРЕТЬ РЕШЕНИЕ
28. Найдите площадь треугольника по стороне a и прилежащим к ней углам α и β.
СМОТРЕТЬ РЕШЕНИЕ
29. Выведите формулу Герона для площади треугольника: S = p(p-a)(p-b)(p-c) где a, b, с — длины сторон треугольника, p — полупериметр
СМОТРЕТЬ РЕШЕНИЕ
30. Найдите площадь треугольника по трем сторонам: 1) 13, 14, 15; 2) 5, 5, 6; 3) 17, 65, 80; 4) 25/6, 29/6, 6; 5) 13, 37 12/13, 47 1/13; 6) 2 1/12, 3 44/75, 1,83;
СМОТРЕТЬ РЕШЕНИЕ
31. Стороны треугольника a, b, c. Найдите высоту треугольника, опущенную на сторону c.
СМОТРЕТЬ РЕШЕНИЕ
32. Боковые стороны треугольника 30 см и 25 см. Найдите высоту треугольника, опущенную на основание, равное: 1) 25 см; 2) 11 см.
СМОТРЕТЬ РЕШЕНИЕ
33. Периметр равнобедренного треугольника равен 64 см, а его боковая сторона на 11 см больше основания. Найдите высоту треугольника, опущенную на боковую сторону.
СМОТРЕТЬ РЕШЕНИЕ
34. Найдите высоты треугольника, у которого стороны равны 13 см, 14 см и 15 см.
СМОТРЕТЬ РЕШЕНИЕ
35. Найдите высоту треугольника со сторонами 2 1/12, 3 44/75, 1,83, проведенную к стороне 2 1/12
СМОТРЕТЬ РЕШЕНИЕ
36. Найдите наименьшую высоту треугольника со сторонами: 1) 5, 5, 6; 2) 17,65, 80 и наибольшую высоту треугольника со сторонами 3) 25/6, 29/6, 6; 4) 13, 37 12/13, 47 1/13
СМОТРЕТЬ РЕШЕНИЕ
37. Найдите площадь трапеции, у которой параллельные стороны 60 см и 20 см, а непараллельные — 13 см и 37 см.
СМОТРЕТЬ РЕШЕНИЕ
38. В равнобокой трапеции основания равны 10 см и 24 см, боковая сторона 25 см. Найдите площадь трапеции.
СМОТРЕТЬ РЕШЕНИЕ
39. В равнобокой трапеции большее основание равно 44 м, боковая сторона 17 м и диагональ 39 м. Найдите площадь трапеции.
СМОТРЕТЬ РЕШЕНИЕ
40. Докажите, что если диагонали четырехугольника пересекаются, то площадь четырехугольника равна половине произведения диагоналей на синус угла между ними.
СМОТРЕТЬ РЕШЕНИЕ
41. Докажите, что среди всех параллелограммов с данными диагоналями наибольшую площадь имеет ромб.
СМОТРЕТЬ РЕШЕНИЕ
42. Выведите следующие формулы для радиусов описанной ® и вписанной ® окружностей треугольника: R = abc/4S, r = 2s/(a + b + c), где a, b, c — стороны треугольника, а S — его площадь
СМОТРЕТЬ РЕШЕНИЕ
43. Найдите радиусы описанной ® и вписанной ® окружностей для треугольника со сторонами: 1) 13, 14, 15; 2) 15, 13, 4; 3) 35, 29, 8; 4) 4, 5, 7
СМОТРЕТЬ РЕШЕНИЕ
44. Боковая сторона равнобедренного треугольника 6 см, высота, проведенная к основанию, 4 см. Найдите радиус описанной окружности.
СМОТРЕТЬ РЕШЕНИЕ
45. Найдите радиусы окружностей описанной около равнобедренного треугольника с основанием a и боковой стороной b и вписанной в него.
СМОТРЕТЬ РЕШЕНИЕ
46. Найдите радиус r вписанной и радиус R описанной окружностей для равнобедренного треугольника с основанием 10 см и боковой стороной 13 см.
СМОТРЕТЬ РЕШЕНИЕ
47. Докажите, что в прямоугольном треугольнике радиус вписанной окружности равен половине разности между суммой катетов и гипотенузой.
СМОТРЕТЬ РЕШЕНИЕ
48. Катеты прямоугольного треугольника равны 40 см и 42 см. Найдите радиусы описанной и вписанной окружностей.
СМОТРЕТЬ РЕШЕНИЕ
49. Докажите, что площадь многоугольника, описанного около окружности, равна половине произведения периметра многоугольника на радиус окружности.
СМОТРЕТЬ РЕШЕНИЕ
50. Через середину высоты треугольника проведена перпендикулярная к ней прямая. В каком отношении она делит площадь треугольника?
СМОТРЕТЬ РЕШЕНИЕ
51. Прямая, перпендикулярная высоте треугольника, делит его площадь пополам. Найдите расстояние от этой прямой до вершины треугольника, из которой проведена высота, если она равна A.
СМОТРЕТЬ РЕШЕНИЕ
52. Периметры правильных n-угольников относятся как a:b. Как относятся их площади?
СМОТРЕТЬ РЕШЕНИЕ
53. Найдите площадь круга, если длина окружности l.
СМОТРЕТЬ РЕШЕНИЕ
54. Найдите площадь кругового кольца, заключенного между двумя окружностями с одним и тем же центром и радиусами: 1) 4 см и 6 см; 2) 5,5 м и 6,5 м; 3) а и b, а > b.
СМОТРЕТЬ РЕШЕНИЕ
55. Во сколько раз увеличится площадь круга, если его диаметр увеличить: 1) в 2 раза; 2) в 5 раз; 3) в m раз?
СМОТРЕТЬ РЕШЕНИЕ
56. Найдите отношение площади круга к площади вписанного в него: 1) квадрата; 2) правильного треугольника; 3) правильного шестиугольника
СМОТРЕТЬ РЕШЕНИЕ
57. Найдите отношение площади круга, вписанного в правильный треугольник, к площади круга, описанного около него.
СМОТРЕТЬ РЕШЕНИЕ
58. Найдите отношение площади круга, описанного около квадрата, к площади круга,вписанного в него.
СМОТРЕТЬ РЕШЕНИЕ
59. Найдите площадь сектора круга радиуса R, если соответствующий этому сектору центральный угол равен: 1) 40°; 2) 90°; 3) 150°; 4) 240°; 5) 300°; 6) 330°.
СМОТРЕТЬ РЕШЕНИЕ
60. Дана окружность радиуса R. Найдите площадь сектора, соответствующего дуге с длиной, равной: 1) R, 2) l.
СМОТРЕТЬ РЕШЕНИЕ
61. Найдите площадь кругового сегмента с основанием a√3 и высотой — a/2.
СМОТРЕТЬ РЕШЕНИЕ
62. Найдите площадь той части круга, которая расположена вне вписанного в него: 1) квадрата; 2) правильного треугольника; 3) правильного шестиугольника. Радиус круга R
СМОТРЕТЬ РЕШЕНИЕ | |
|
|
