|
|
|
Решебник Погорелов онлайн, 11 класс |
Решебник задач по геометрии учебника Погорелова для 11 класса.
|
|
|
|
Многогранники
1. Из точек А и В в гранях двугранного угла опущены перпендикуляры AA1 и BB2 на ребро угла. Найдите длину отрезка AB, если AA1=а, BB1=b1 A1B1=с и двугранный угол равен α1
СМОТРЕТЬ РЕШЕНИЕ
2. У трехгранного угла (аbс) двугранный угол при ребре с прямой, двугранный угол при ребре b равен φ, а плоский угол (bс) равен γ (φ,γ < π/2). Найдите два других плоских угла α = ∠ (ab), β = ∠ (ac)
СМОТРЕТЬ РЕШЕНИЕ
3. У трехгранного угла один плоский угол равен γ, а прилегающие к нему двугранные углы равны φ (φ < π/2). Найдите два других плоских угла α и угол β, который образует плоскость угла γ с противолежащим ребром.
СМОТРЕТЬ РЕШЕНИЕ
4. У трехгранного угла два плоских угла острые и равны α, а третий угол равен γ. Найдите двугранные углы φ, противолежащие плоским углам α, и угол β между плоскостью γ и противолежащим ребром
СМОТРЕТЬ РЕШЕНИЕ
5. Докажите, что сечение призмы, параллельное основаниям, равно основаниям
СМОТРЕТЬ РЕШЕНИЕ
6. Сколько диагоналей имеет n-угольная призма?
СМОТРЕТЬ РЕШЕНИЕ
7. Постройте сечение четырехугольной призмы плоскостью, проходящей через сторону основания и одну из вершин другого основания
СМОТРЕТЬ РЕШЕНИЕ
8. Постройте сечение четырехугольной призмы плоскостью, проходящей через три точки на боковых ребрах призмы
СМОТРЕТЬ РЕШЕНИЕ
9. У призмы одно боковое ребро перпендикулярно плоскости основания. Докажите, что остальные боковые ребра тоже перпендикулярны плоскости основания
СМОТРЕТЬ РЕШЕНИЕ
10. В прямой треугольной призме стороны основания равны 10 см, 17 см и 21 см, а высота призмы — 18 см. Найдите площадь сечения, проведенного через боковое ребро, и меньшую высоту основания
СМОТРЕТЬ РЕШЕНИЕ
11. Боковое ребро наклонной призмы равно 15 см и наклонено к плоскости основания под углом 30°. Найдите высоту призмы
СМОТРЕТЬ РЕШЕНИЕ
12. В наклонной треугольной призме расстояния между боковыми ребрами равны 37 см, 13 см и 40 см. Найдите расстояние между большей боковой гранью и противолежащим боковым ребром
СМОТРЕТЬ РЕШЕНИЕ
13. Основанием призмы является правильный шестиугольник со стороной а, а боковые грани — квадраты. Найдите диагонали призмы и площади ее диагональных сечений
СМОТРЕТЬ РЕШЕНИЕ
14. В правильной шестиугольной призме, у которой боковые грани — квадраты, проведите плоскость через сторону нижнего основания и противолежащую ей сторону верхнего основания. Сторона основания равна а. Найдите площадь построенного сечения
СМОТРЕТЬ РЕШЕНИЕ
15. Через сторону нижнего основания правильной треугольной призмы проведена плоскость, пересекающая боковые грани по отрезкам, угол между которыми а. Найдите угол наклона этой плоскости к основанию призмы
СМОТРЕТЬ РЕШЕНИЕ
16. В правильной четырехугольной призме через середины двух смежных сторон основания проведена плоскость, пересекающая три боковых ребра и наклоненная к плоскости основания под углом а. Сторона основания равна а. Найдите площадь полученного сечения.
СМОТРЕТЬ РЕШЕНИЕ
17. В правильной четырехугольной призме площадь основания 144 см2, а высота 14 см. Найдите диагональ призмы.
СМОТРЕТЬ РЕШЕНИЕ
18. В правильной четырехугольной призме площадь боковой грани равна Q Найдите площадь диагонального сечения.
СМОТРЕТЬ РЕШЕНИЕ
19. Сторона основания правильной четырехугольной призмы равна 15 см, высота равна 20 см. Найдите кратчайшее расстояние от стороны основания до не пересекающей ее диагонали призмы.
СМОТРЕТЬ РЕШЕНИЕ
20. В прямой треугольной призме все ребра равны. Боковая поверхность равна 12 м2. Найдите высоту.
СМОТРЕТЬ РЕШЕНИЕ
21. Боковая поверхность правильной четырехугольной призмы 32 м2, а полная поверхность — 40 м2. Найдите высоту.
СМОТРЕТЬ РЕШЕНИЕ
22. В наклонной призме проведено сечение, перпендикулярное боковым ребрам и пересекающее все боковые ребра. Найдите боковую поверхность призмы, если периметр сечения равен р, а боковые ребра равны l
СМОТРЕТЬ РЕШЕНИЕ
23. Расстояния между параллельными прямыми, содержащими боковые ребра наклонной треугольной призмы, равны 2 см, 3 см и 4 см, а боковые ребра — 5 см. Найдите боковую поверхность призмы.
СМОТРЕТЬ РЕШЕНИЕ
24. По стороне основания а и боковому ребру b найдите полную поверхность правильной призмы: 1) треугольной; 2) четырехугольной; 3) шестиугольной.
СМОТРЕТЬ РЕШЕНИЕ
25. Плоскость, проходящая через сторону основания правильной треугольной призмы и середину противолежащего ребра, образует с основанием угол 45. Сторона основания l. Найдите боковую поверхность призмы
СМОТРЕТЬ РЕШЕНИЕ
26. У параллелепипеда три грани имеют поверхности 1 м2, 2 м2 и 3 м2. Чему равна полная поверхность параллелепипеда
СМОТРЕТЬ РЕШЕНИЕ
27. Известны углы, образуемые ребрами параллелепипеда, сходящимися в одной вершине. Как найти углы между ребрами, сходящимися в любой другой вершине
СМОТРЕТЬ РЕШЕНИЕ
28. Докажите, что отрезок, соединяющий центры оснований параллелепипеда, параллелен боковым ребрам.
СМОТРЕТЬ РЕШЕНИЕ
29. В прямом параллелепипеде стороны основания 6 м и 8 м образуют угол 30°, боковое ребро равно 5 м. Найдите полную поверхность этого параллелепипеда.
СМОТРЕТЬ РЕШЕНИЕ
30. В прямом параллелепипеде стороны основания 3 см и 8 см, угол между ними 60°. Боковая поверхность равна 220 см2. Найдите полную поверхность.
СМОТРЕТЬ РЕШЕНИЕ
31. В прямом параллелепипеде стороны основания 3 см и 5 см, а одна из диагоналей основания 4 см. Найдите большую диагональ параллелепипеда, зная, что меньшая диагональ образует с плоскостью основания угол 60°
СМОТРЕТЬ РЕШЕНИЕ
32. Найдите диагонали прямого параллелепипеда, у которого каждое ребро равно α, а угол основания равен 60°
СМОТРЕТЬ РЕШЕНИЕ
33. Боковое ребро прямого параллелепипеда 5 м, стороны основания 6 м и 8 м, а одна из диагоналей основания 12 м. Найдите диагонали параллелепипеда
СМОТРЕТЬ РЕШЕНИЕ
34. В прямом параллелепипеде боковое ребро 1 м, стороны основания 23 дм и 11 дм, а диагонали основания относятся как 2:3. Найдите площади диагональных сечений.
СМОТРЕТЬ РЕШЕНИЕ
35. Найдите диагонали прямоугольного параллелепипеда по трем его измерениям: 1) 1, 2, 2; 2) 2, 3, 6; 3) 6, 6, 7.
СМОТРЕТЬ РЕШЕНИЕ
36. Ребро куба равно а. Найдите расстояние от вершины куба до его диагонали, соединяющей две другие вершины
СМОТРЕТЬ РЕШЕНИЕ
37. В прямоугольном параллелепипеде стороны основания 7 дм и 24 дм, а высота параллелепипеда 8 дм. Найдите площадь диагонального сечения. Основание параллелепипеда — прямоугольник со сторонами a1 = 7 дм и a2 = 24 дм.
СМОТРЕТЬ РЕШЕНИЕ
38. Найдите поверхность прямоугольного параллелепипеда по трем его измерениям: 10 см, 22 см, 16 см.
СМОТРЕТЬ РЕШЕНИЕ
39. Найдите боковую поверхность прямоугольного параллелепипеда, если его высота h, площадь основания Q, а площадь диагонального сечения М
СМОТРЕТЬ РЕШЕНИЕ
40. Диагонали трех граней прямоугольного параллелепипеда, сходящиеся в одной вершине, равны а, b и с. Найдите линейные размеры параллелепипеда.
СМОТРЕТЬ РЕШЕНИЕ
41. Основание пирамиды — равнобедренный треугольник, у которого основание равно 12 см, а боковая сторона — 10 см. Боковые грани образуют с основанием равные двугранные углы, содержащие по 45°. Найдите высоту пирамиды.
СМОТРЕТЬ РЕШЕНИЕ
42. Основание пирамиды — прямоугольник со сторонами 6 см и 8 см. Каждое боковое ребро пирамиды равно 13 см. Вычислите высоту пирамиды.
СМОТРЕТЬ РЕШЕНИЕ
43. Основанием пирамиды является правильный треугольник; одна из боковых граней перпендикулярна основанию, а две другие наклонены к нему под углом α. Как наклонены к плоскости основания боковые ребра?
СМОТРЕТЬ РЕШЕНИЕ
44. В основании пирамиды лежит прямоугольный треугольник с гипотенузой а. Каждое боковое ребро образует с плоскостью основания угол β. Найдите ее высоту.
СМОТРЕТЬ РЕШЕНИЕ
45. Основание пирамиды — прямоугольный треугольник с катетами 6 см и 8 см. Все двугранные углы при основании пирамиды равны 60°. Найдите высоту пирамиды.
СМОТРЕТЬ РЕШЕНИЕ
46. Основание пирамиды — параллелограмм, у которого стороны 3 см и 7 см, а одна из диагоналей 6 см. Высота пирамиды проходит через точку пересечения диагоналей. Она равна 4 см. Найти боковое ребро пирамиды
СМОТРЕТЬ РЕШЕНИЕ
47. Основание пирамиды — ромб с диагоналями 6 м и 8 м; высота пирамиды проходит через точку пересечений диагоналей ромба и равна 1 м. Найдите боковую поверхность пирамиды.
СМОТРЕТЬ РЕШЕНИЕ
48. Основание пирамиды — равнобедренный треугольник со сторонами 40 см, 25 см и 25 см. Ее высота проходит через вершину угла, противолежащего стороне 40 см, и равна 8 см. Найдите боковую поверхность пирамиды.
СМОТРЕТЬ РЕШЕНИЕ
49. Основание пирамиды — квадрат, ее высота проходит через одну из вершин основания. Найдите боковую поверхность пирамиды, если сторона основания равна 20 дм, а высота — 21 дм.
СМОТРЕТЬ РЕШЕНИЕ
50. Постройте сечение пирамиды плоскостью, проходящей через вершину пирамиды и две данные точки на ее основании.
СМОТРЕТЬ РЕШЕНИЕ
51. Постройте сечение треугольной пирамиды плоскостью, проходящей через сторону основания пирамиды и данную точку на противолежащем ребре.
СМОТРЕТЬ РЕШЕНИЕ
52. Постройте сечение четырехугольной пирамиды плоскостью, проходящей через сторону основания и точку на одном из боковых ребер.
СМОТРЕТЬ РЕШЕНИЕ
53. У четырехугольной усеченной пирамиды стороны одного основания равны 6, 7, 8, 9 см, а меньшая сторона другого основания равна 5 см. Найдите остальные стороны этого основания.
СМОТРЕТЬ РЕШЕНИЕ
54. Боковое ребро пирамиды разделено на четыре равные части, и через точки деления проведены плоскости параллельные основанию. Площадь основания равна 400 см2. Найдите площади оснований.
СМОТРЕТЬ РЕШЕНИЕ
55. Высота пирамиды равна 16 м. Площадь основания равна 512 м2. На каком расстоянии от основания находится сечение, параллельное ему, если площадь сечения 50 м2
СМОТРЕТЬ РЕШЕНИЕ
56. В правильной треугольной пирамиде с высотой h через сторону основания а проведена плоскость, пересекающая противолежащее боковое ребро под прямым углом. Найдите площадь сечения.
СМОТРЕТЬ РЕШЕНИЕ
57. Высота правильной четырехугольной пирамиды равна 7 см, а сторона основания — 8 см. Найдите боковое ребро.
СМОТРЕТЬ РЕШЕНИЕ
58. В правильной четырехугольной пирамиде плоский угол при вершине равен α. Найдите двугранный угол x при основании пирамиды.
СМОТРЕТЬ РЕШЕНИЕ
59. По данной стороне a и боковому ребру b найдите высоту правильной пирамиды: 1) треугольной; 2) четырехугольной; 3) шестиугольной.
СМОТРЕТЬ РЕШЕНИЕ
60. По данной стороне основания а и высоте b найдите апофему правильной пирамиды: 1) треугольной; 2) четырехугольной; 3) шестиугольной.
СМОТРЕТЬ РЕШЕНИЕ
61. По стороне основания а и высоте b найдите полную поверхность правильной пирамиды:
СМОТРЕТЬ РЕШЕНИЕ
62. Найдите полную поверхность правильной шестиугольной пирамиды, если ее боковое ребро a, а радиус окружности, вписанной в основание, r.
СМОТРЕТЬ РЕШЕНИЕ
63. В правильной четырехугольной пирамиде боковая поверхность равна 14,76 м2, а полная поверхность — 18 м2 Найдите сторону основания и высоту пирамиды.
СМОТРЕТЬ РЕШЕНИЕ
64. По стороне основания а найдите боковую поверхность правильной четырехугольной пирамиды, у которой диагональное сечение равновелико основанию.
СМОТРЕТЬ РЕШЕНИЕ
65. Найдите боковую поверхность пирамиды, если площадь основания Q, а двугранные углы при основании φ.
СМОТРЕТЬ РЕШЕНИЕ
66. Найдите двугранные углы при основании правильной пирамиды, у которой площадь основания равна Q, а боковая поверхность S.
СМОТРЕТЬ РЕШЕНИЕ
67. Найдите сторону основания и апофему правильной треугольной пирамиды, если ее боковое ребро равно 10 см, а боковая поверхность равна 144 см2.
СМОТРЕТЬ РЕШЕНИЕ
68. В правильной четырехугольной пирамиде найдите сторону основания, если боковое ребро равно 5 см, а полная поверхность 16 см2
СМОТРЕТЬ РЕШЕНИЕ
69. Докажите, что боковая поверхность правильной усеченной пирамиды равна произведению полусуммы периметров оснований на апофему.
СМОТРЕТЬ РЕШЕНИЕ
70. Высота правильной четырехугольной усеченной пирамиды равна 7 см. Стороны оснований равны 10 см и 2 см. Найдите боковое ребро пирамиды.
СМОТРЕТЬ РЕШЕНИЕ
71. Стороны оснований правильной усеченной треугольной пирамиды 4 дм и 1 дм. Боковое ребро 2 дм. Найдите высоту пирамиды.
СМОТРЕТЬ РЕШЕНИЕ
72. В правильной четырехугольной усеченной пирамиде высота равна 2 см, а стороны оснований — 3 см и 5 см. Найдите диагональ этой пирамиды.
СМОТРЕТЬ РЕШЕНИЕ
73. Стороны оснований усеченной правильной треугольной пирамиды 2 см и 6 см. Боковая грань образует с большим основанием угол 60°. Найдите высоту.
СМОТРЕТЬ РЕШЕНИЕ
74. В правильной усеченной треугольной пирамиде сторона большего основания a, сторона меньшего b. Боковое ребро образует с основанием угол 45°. Найдите площадь сечения, проходящего через боковое ребро и ось пирамиды.
СМОТРЕТЬ РЕШЕНИЕ
75. Высота правильной четырехгранной усеченной пирамиды равна 4 см. Стороны оснований равны 2 см и 8 см. Найдите площади диагональных сечений.
СМОТРЕТЬ РЕШЕНИЕ
76. В правильной треугольной усеченной пирамиде сторона нижнего основания 8 м, верхнего — 5 м, а высота 3 м. Проведите сечение через сторону нижнего основания и противоположную вершину верхнего основания. Найдите площадь сечения и двугранный угол между сечением и нижнем основанием
СМОТРЕТЬ РЕШЕНИЕ
77. В правильной четырехугольной усеченной пирамиде стороны оснований 8 м и 2 м. Высота равна 4 м. Найдите полную поверхность.
СМОТРЕТЬ РЕШЕНИЕ
78. Найдите полную поверхность правильной усеченной пирамиды: 1) треугольной; 2) четырехугольной; 3) шестиугольной, если высота h, а стороны оснований а и b.
СМОТРЕТЬ РЕШЕНИЕ
79. Докажите, что центры граней куба являются вершинами октаэдра, а центры граней октаэдра являются вершинами куба.
СМОТРЕТЬ РЕШЕНИЕ
80. Докажите, что концы двух непараллельных диагоналей противолежащих граней куба являются вершинами тетраэдра.
СМОТРЕТЬ РЕШЕНИЕ
81. Найдите двугранные углы правильного тетраэдра.
СМОТРЕТЬ РЕШЕНИЕ
82. Найдите двугранные углы октаэдра.
СМОТРЕТЬ РЕШЕНИЕ
83. Какие плоскости симметрии имеет правильный тетраэдр
СМОТРЕТЬ РЕШЕНИЕ
84. Сколько плоскостей симметрии у правильного октаэдра, додекаэдра и икосаэдра?
СМОТРЕТЬ РЕШЕНИЕ | |
| Тела вращения
1. Радиус основания цилиндра 2 м, а высота 3 м. Найдите диагональ осевого сечения.
СМОТРЕТЬ РЕШЕНИЕ
2. Осевое сечение цилиндра — квадрат, площадь которого Q. Найдите площадь основания цилиндра.
СМОТРЕТЬ РЕШЕНИЕ
3. Высота цилиндра 6 см, радиус основания 5 см. Найдите площадь сечения, проведенного параллельно оси цилиндра на расстоянии 4 см от нее.
СМОТРЕТЬ РЕШЕНИЕ
4. Высота цилиндра 8 дм, радиус основания 5 дм. Цилиндр пересечен плоскостью так, что в сечении получился квадрат. Найдите расстояние от этого сечения до оси.
СМОТРЕТЬ РЕШЕНИЕ
5. Высота цилиндра 6 дм, радиус основания 5 дм. Концы отрезка АВ, равного 10 дм, лежат на окружностях обоих оснований. Найдите кратчайшее расстояние от него до оси.
СМОТРЕТЬ РЕШЕНИЕ
6. В равностороннем цилиндре (диаметр равен высоте цилиндра) точка окружности верхнего основания соединена с точкой окружности нижнего основания.
СМОТРЕТЬ РЕШЕНИЕ
7. В цилиндр вписана правильная шестиугольная призма. Найдите угол между диагональю ее боковой грани и осью цилиндра, если радиус основания равен высоте цилиндра.
СМОТРЕТЬ РЕШЕНИЕ
8. Высота цилиндра 2 м. Радиус основания 7 м. В этот цилиндр наклонно вписан квадрат — так, что все вершины его лежат на окружностях оснований. Найдите сторону квадрата.
СМОТРЕТЬ РЕШЕНИЕ
9. Радиус основания конуса 3 м, высота 4 м. Найдите образующую L
СМОТРЕТЬ РЕШЕНИЕ
10. Образующая конуса l наклонена к плоскости основания под углом 30°. Найдите высоту.
СМОТРЕТЬ РЕШЕНИЕ
11. Радиус основания конуса R. Осевым сечением конуса является прямоугольный треугольник. Найдите его площадь.
СМОТРЕТЬ РЕШЕНИЕ
12. В равностороннем конусе (осевое сечение — правильный треугольник) радиус основания R. Найдите площадь сечения, проведенного через две образующие, угол между которыми равен α.
СМОТРЕТЬ РЕШЕНИЕ
13. Высота конуса 20, радиус его основания 25. Найдите площадь сечения, проведенного через вершину, если расстояние от него до центра основания конуса равно 12.
СМОТРЕТЬ РЕШЕНИЕ
14. Радиус основания конуса R, а образующая наклонена к плоскости основания под углом α. Через вершину конуса проведена плоскость под углом φ к его высоте. Найдите площадь полученного сечения.
СМОТРЕТЬ РЕШЕНИЕ
15. Конус пересечен плоскостью, параллельной основанию, на расстоянии d от вершины. Найдите площадь сечения, если радиус основания конуса r, а высота h
СМОТРЕТЬ РЕШЕНИЕ
16. Высота конуса h. На каком расстоянии от вершины надо провести плоскость, параллельную основанию, чтобы площадь сечения была равна половине площади основания
СМОТРЕТЬ РЕШЕНИЕ
17. Через середину высоты конуса проведена прямая, параллельная образующей l. Найдите длину отрезка прямой, заключенной внутри конуса.
СМОТРЕТЬ РЕШЕНИЕ
18. Образующая конуса 13 см, высота 12 см. Конус пересечен прямой, параллельной основанию, расстояние от нее до основания равно 6 см, а до высоты — 2 см. Найдите отрезок прямой, заключенный внутри конуса.
СМОТРЕТЬ РЕШЕНИЕ
19. Радиусы оснований усеченного конуса 3 м и 6 м, высота 4 м. Найдите образующую.
СМОТРЕТЬ РЕШЕНИЕ
20. Радиусы оснований усеченного конуса R и r, образующая наклонена к основанию под углом 45°. Найдите высоту Н.
СМОТРЕТЬ РЕШЕНИЕ
21. Образующая усеченного конуса равна 2a и наклонена к основанию под углом 60°. Радиус одного основания вдвое больше радиуса другого основания. Найдите радиусы.
СМОТРЕТЬ РЕШЕНИЕ
22. Радиусы оснований усеченного конуса 3 дм и 7 дм, образующая 5 дм. Найдите площадь осевого сечения.
СМОТРЕТЬ РЕШЕНИЕ
23. Площади оснований усеченного конуса 4 дм2 и 16 дм2, через середину высоты проведена плоскость, параллельная основаниям. Найдите площадь сечения.
СМОТРЕТЬ РЕШЕНИЕ
24. Площадь оснований усеченного конуса M и m. Найдите площадь среднего сечения, параллельного основаниям.
СМОТРЕТЬ РЕШЕНИЕ
25. У пирамиды все боковые ребра равны. Докажите, что она является вписанной в некоторый конус.
СМОТРЕТЬ РЕШЕНИЕ
26. В конусе даны радиус основания R и высота H. Найдите ребро вписанного в него куба.
СМОТРЕТЬ РЕШЕНИЕ
27. В конусе даны радиус основания R и высота H. В него вписана правильная треугольная призма, у которой боковые грани — квадраты Найдите ребро призмы.
СМОТРЕТЬ РЕШЕНИЕ
28. Полушар и вписанный в него конус имеют общее основание и общую высоту. Через середину высоты проведена плоскость, параллельная основанию. Докажите, что площадь сечения, заключенного между боковой поверхностью конуса и поверхностью полушара. равна половине площади основания.
СМОТРЕТЬ РЕШЕНИЕ
29. Шар, радиус которого 41 дм, пересечен плоскостью на расстоянии 9 дм от центра. Найдите площадь сечения.
СМОТРЕТЬ РЕШЕНИЕ
30. Через середину радиуса шара проведена перпендикулярная ему плоскость. Как относится площадь полученного сечения к площади большого круга
СМОТРЕТЬ РЕШЕНИЕ
31. Радиус шара R. Через конец радиуса проведена плоскость под углом 60° к нему. Найдите площадь сечения.
СМОТРЕТЬ РЕШЕНИЕ
32. Радиус земного шара R. Чему равна длина параллели, если ее широта 60°?
СМОТРЕТЬ РЕШЕНИЕ
33. Город N находится на 60° северной широты. Какой путь совершает этот пункт в течение 1 ч. вследствие вращения Земли вокруг своей оси
СМОТРЕТЬ РЕШЕНИЕ
34. На поверхности шара даны три точки. Прямолинейные расстояния между ними 6 см, 8 см, 10 см. Радиус шара 13 см. Найдите расстояние от центра до плоскости, проходящей через эти точки.
СМОТРЕТЬ РЕШЕНИЕ
35. Диаметр шара 25 см. На его поверхности даны точка А и окружность, все точки которой удалены (по прямой) от А на 15 см. Найдите радиус этой окружности.
СМОТРЕТЬ РЕШЕНИЕ
36. Радиус шара 7 см. На его поверхности даны две равные окружности, имеющие общую хорду длиной 2 см. Найдите радиусы окружностей, зная, что их плоскости перпендикулярны.
СМОТРЕТЬ РЕШЕНИЕ
37. Дан шар радиуса R. Через одну точку его поверхности проведены две плоскости: первая — касательная к шару, вторая — под углом 30° к первой. Найдите площадь сечения.
СМОТРЕТЬ РЕШЕНИЕ
38. Имеется тело, ограниченное двумя концентрическими шаровыми поверхностями (полый шар). Докажите, что его сечение плоскостью, проходящей через центр, равновелико сечению, касательному к внутренней шаровой поверхности.
СМОТРЕТЬ РЕШЕНИЕ
39. Шар радиуса R касается всех сторон правильного треугольника со стороной а. Найдите расстояние от центра шара до плоскости треугольника
СМОТРЕТЬ РЕШЕНИЕ
40. Стороны треугольника 13 см, 14 см и 15 см. Найдите расстояние от плоскости треугольника до центра шара, касающегося всех сторон треугольника. Радиус шара 5 см.
СМОТРЕТЬ РЕШЕНИЕ
41. Диагонали ромба 15 см и 20 см. Шаровая поверхность касается всех его сторон. Радиус шара 10 см. Найдите расстояние от центра шара до плоскости ромба.
СМОТРЕТЬ РЕШЕНИЕ
42. Через касательную к поверхности шара проведены две взаимно перпендикулярные плоскости, пересекающие шар по кругам радиусов r1 и r2 Найдите радиус шара R.
СМОТРЕТЬ РЕШЕНИЕ
43. Шар радиуса R вписан в усеченный конус. Угол наклона образующей l к плоскости нижнего основания конуса равен α. Найдите радиусы оснований и образующую усеченного конуса.
СМОТРЕТЬ РЕШЕНИЕ
44. Два равных шара радиуса R расположены так, что центр одного лежит на поверхности другого. Найдите длину линии l, по которой пересекаются их поверхности.
СМОТРЕТЬ РЕШЕНИЕ
45. Радиусы шаров 25 дм и 29 дм, а расстояние между их центрами 36 дм. Найдите длину линии l, по которой пересекаются их поверхности.
СМОТРЕТЬ РЕШЕНИЕ
46. Найдите радиус шара, описанного около куба с ребром а.
СМОТРЕТЬ РЕШЕНИЕ
47. Докажите, что центр шара, описанного около правильной пирамиды, лежит на ее оси.
СМОТРЕТЬ РЕШЕНИЕ
48. Докажите, что центр шара, вписанного в правильную пирамиду, лежит на ее высоте.
СМОТРЕТЬ РЕШЕНИЕ
49. Найдите радиус шара, описанного около правильного тетраэдра с ребром a
СМОТРЕТЬ РЕШЕНИЕ
50. В правильной четырехугольной пирамиде сторона основания равна a, а плоский угол при вершине равен α. Найдите радиусы вписанного и описанного шаров.
СМОТРЕТЬ РЕШЕНИЕ
51. В шар радиуса R вписана правильная треугольная пирамида с плоскими углами α при ее вершине. Найдите высоту пирамиды.
СМОТРЕТЬ РЕШЕНИЕ
52. Правильная n-угольная призма вписана в шар радиуса R. Ребро основания призмы равно а. Найдите высоту призмы при: 1) n = 3; 2) n = 4; 3) n = 6.
СМОТРЕТЬ РЕШЕНИЕ
53. Сторона основания правильной n-угольной пирамиды равна а, двугранный угол при основании равен φ. Найдите радиус шара, вписанного в пирамиду.
СМОТРЕТЬ РЕШЕНИЕ
54. Найдите радиус шара, описанного около правильной n-угольной пирамиды, если сторона основания равна a, а боковое ребро наклонено к плоскости основания под углом α.
СМОТРЕТЬ РЕШЕНИЕ | |
| Объемы многогранников
1. Три латунных куба с ребрами 3 см, 4 см и 5 см переплавлены в один куб. Какое ребро у этого куба?
СМОТРЕТЬ РЕШЕНИЕ
2. Металлический куб имеет внешнее ребро 10,2 см и массу 514,15 г. Толщина стенок равна 0,1 см. Найдите плотность металла, из которого сделан куб.
СМОТРЕТЬ РЕШЕНИЕ
3. Если каждое ребро куба увеличить на 2 см, то его объем увеличивается на 98 см3. Чему равно ребро куба?
СМОТРЕТЬ РЕШЕНИЕ
4. Если каждое ребро куба увеличить на 1 м, то его объем увеличится в 125 раз. Найдите ребро.
СМОТРЕТЬ РЕШЕНИЕ
5. Кирпич размером 25х12х6,5 имеет массу 3,51кг. Найдите его плотность.
СМОТРЕТЬ РЕШЕНИЕ
6. Требуется установить резервуар для воды емкостью 10 м3 на площадке размером 2,5 м х 1,75 м, служащей для него дном. Найдите высоту резервуара.
СМОТРЕТЬ РЕШЕНИЕ
7. Измерения прямоугольного параллелепипеда 15 м, 50 м и 36 м. Найдите ребро равновеликого ему куба.
СМОТРЕТЬ РЕШЕНИЕ
8. Измерения прямоугольного бруска 3 см, 4 см и 5 см. Если увеличить каждое ребро на X сантиметров, то поверхность увеличится на 54 см2. Как увеличится объем?
СМОТРЕТЬ РЕШЕНИЕ
9. Чугунная труба имеет квадратное сечение, ее внешняя ширина 25 см, толщина стенок 3 см. Какова масса погонного метра трубы (плотность чугуна 73 г/см3)?
СМОТРЕТЬ РЕШЕНИЕ
10. Чему равен объем прямоугольного параллелепипеда, диагональ которого а составляет с плоскостью основания угол α, а с боковой гранью — угол β?
СМОТРЕТЬ РЕШЕНИЕ
11. В прямом параллелепипеде стороны основания а и b образуют угол 30°. Боковая поверхность равна S. Найдите его объем.
СМОТРЕТЬ РЕШЕНИЕ
12. В прямом параллелепипеде стороны основания 2√2 см и 5 см образуют угол 45°. Меньшая диагональ равна 7 см. Найдите его объем.
СМОТРЕТЬ РЕШЕНИЕ
13. Основание прямого параллелепипеда — ромб, площадь которого 1м2. Площадь диагональных сечений 3 м2 и 6 м2 Найдите объем параллелепипеда.
СМОТРЕТЬ РЕШЕНИЕ
14. Решите предыдущую задачу в общем случае, если площадь ромба Q, а площади диагональных сечений М и N. В основании лежит ромб.
СМОТРЕТЬ РЕШЕНИЕ
15. Основание наклонного параллелепипеда — квадрат, сторона которого равна 1 м. Одно из боковых ребер равно 2 м и образует с каждой из прилежащих сторон основания угол 60°. Найдите объем параллелепипеда.
СМОТРЕТЬ РЕШЕНИЕ
16. Грани параллелепипеда — равные ромбы со стороной а и острым углом 60°. Найдите объем параллелепипеда.
СМОТРЕТЬ РЕШЕНИЕ
17. Каждое ребро параллелепипеда равно 1 см. У одной из вершин параллелепипеда все три плоских угла острые, по 2а каждый. Найдите объем параллелепипеда.
СМОТРЕТЬ РЕШЕНИЕ
18. В параллелепипеде длины трех ребер, исходящих из одной вершины, равны a, b, c. Ребра a и b взаимно перпендикулярны, а ребро с образует с каждым из них угол а. Найдите объем параллелепипеда.
СМОТРЕТЬ РЕШЕНИЕ
19. По стороне основания a и боковому ребру b найдите объем правильной призмы: 1) треугольной; 2) четырехугольной; 3) шестиугольной.
СМОТРЕТЬ РЕШЕНИЕ
20. Деревянная плита в форме правильного восьмиугольника со стороной 3,2 см. и толщиной 0,7 см имеет массу 17,3 г. Найдите плотность дерева.
СМОТРЕТЬ РЕШЕНИЕ
21. Диагональ правильной четырехугольной призмы равна 3,5 см, а диагональ боковой грани 2,5 см. Найдите объем призмы.
СМОТРЕТЬ РЕШЕНИЕ
22. Сторона основания правильной треугольной призмы равна a, боковая поверхность равновелика сумме оснований. Найдите ее объем.
СМОТРЕТЬ РЕШЕНИЕ
23. В правильной шестиугольной призме площадь наибольшего диагонального сечения 4м2, а расстояние между двумя противоположными боковыми гранями 2 м. Найдите объем призмы.
СМОТРЕТЬ РЕШЕНИЕ
24. В наклонной призме проведено сечение, перпендикулярное боковым ребрам и пересекающее все боковые ребра. Найдите объем призмы, если площадь сечения Q, а боковые ребра равны l.
СМОТРЕТЬ РЕШЕНИЕ
25. Боковые ребра наклонной треугольной призмы равны 15 м, а расстояние между содержащими их параллельными прямыми 26 м, 25 м и 17 м. Найдите объем призмы.
СМОТРЕТЬ РЕШЕНИЕ
26. Вычислите пропускную способность (в кубических метрах за 1 ч) водосточной трубы, сечение которой имеет вид равнобедренного треугольника с основанием 1,4 м и высотой 1,2 м. Скорость течения воды 2 м/с.
СМОТРЕТЬ РЕШЕНИЕ
27. Сечение железнодорожной насыпи имеет вид трапеции с нижнем основанием 14 м, верхним 8 м и высотой 3,2 м. Найдите, сколько кубических метров земли приходится на 1 км насыпи.
СМОТРЕТЬ РЕШЕНИЕ
28. В прямой треугольной призме стороны оснований равны 4 см, 5 см и 7 см, а боковое ребро равно большей высоте основания. Найдите объем призмы.
СМОТРЕТЬ РЕШЕНИЕ
29. Площадь основания прямой треугольной призмы равна 4 см2, а площади боковых граней — 9 см2, 10 см2 и 17 см2. Найдите объем.
СМОТРЕТЬ РЕШЕНИЕ
30. Основание призмы треугольник, у которого одна сторона равна 2 см, а две другие по 3 см. Боковое ребро равно 4 см и составляет с плоскостью основания угол 45°. Найдите ребро равновеликого куба.
СМОТРЕТЬ РЕШЕНИЕ
31. Основанием наклонной призмы является равносторонний треугольник со стороной a; одна из боковых граней перпендикулярна основанию и является ромбом, у которого меньшая диагональ равна с. Найдите объем призмы.
СМОТРЕТЬ РЕШЕНИЕ
32. Чему равен объем прямой четырехугольной призмы, если ее высота h, диагонали наклонены к плоскости основания под углами α и β и острый угол между диагоналями равен γ ?
СМОТРЕТЬ РЕШЕНИЕ
33. По стороне основания а и боковому ребру b найдите объем правильной пирамиды: 1) треугольной, 2) четырехугольной, 3) шестиугольной.
СМОТРЕТЬ РЕШЕНИЕ
34. Сторона основания правильной шестиугольной пирамиды а, а двугранный угол при основании равен 45°. Найдите объем пирамиды.
СМОТРЕТЬ РЕШЕНИЕ
35. Боковые ребра треугольной пирамиды взаимно перпендикулярны, каждое ребро равно b. Найдите объем пирамиды.
СМОТРЕТЬ РЕШЕНИЕ
36. Чему равен объем правильной треугольной пирамиды, у которой сторона основания а, а боковые ребра взаимно перпендикулярны?
СМОТРЕТЬ РЕШЕНИЕ
37. По ребру а правильного тетраэдра найдите его объем.
СМОТРЕТЬ РЕШЕНИЕ
38. По ребру a октаэдра найдите его объем.
СМОТРЕТЬ РЕШЕНИЕ
39. Основание пирамиды прямоугольник со сторонами 9 м и 12 м, все боковые ребра равны 12,5 м. Найдите объем пирамиды.
СМОТРЕТЬ РЕШЕНИЕ
40. Основание пирамиды равнобедренный треугольник со сторонами 6 см, 6 см и 8 см. Все боковые ребра равны 9 см. Найдите объем пирамиды.
СМОТРЕТЬ РЕШЕНИЕ
42. В основании пирамиды лежит прямоугольник. Каждое боковое ребро пирамиды равно l и составляет со смежными сторонами прямоугольника углы α и β. Найдите объем пирамиды.
СМОТРЕТЬ РЕШЕНИЕ
43. Найдите объем пирамиды, имеющий основанием треугольник, два угла которого α и β; радиус описанного круга R. Боковые ребра пирамиды наклонены к плоскости ее основания под углом γ.
СМОТРЕТЬ РЕШЕНИЕ
44. Найдите объем усеченной пирамиды с площадью оснований Q1 и Q2 (Q1 > Q2) и высотой h.
СМОТРЕТЬ РЕШЕНИЕ
45. В пирамиде с площадью основания Q1 проведено сечение, параллельное основанию, на расстоянии h от него. Площадь сечения Q2 Найдите высоту пирамиды.
СМОТРЕТЬ РЕШЕНИЕ
46. В правильной усеченной четырехугольной пирамиде стороны нижнего и верхнего оснований равны а и b, а двугранный угол при ребре нижнего основания равен а. Найдите объем пирамиды.
СМОТРЕТЬ РЕШЕНИЕ
47. Решите предыдущую задачу в случае правильной усеченной треугольной пирамиды.
СМОТРЕТЬ РЕШЕНИЕ
48. Через середину высоты пирамиды проведена плоскость, параллельная основанию. В каком отношении она делит объем пирамиды?
СМОТРЕТЬ РЕШЕНИЕ
49. Высота пирамиды h. На каком расстоянии от вершины находится сечение, параллельное основанию и делящее ее объем пополам?
СМОТРЕТЬ РЕШЕНИЕ | |
| Объемы и поверхности тел вращения
1. 25 м медной проволоки имеют массу 100,7 г. Найдите диаметр проволоки (плотность меди 8,94 г/см3)
СМОТРЕТЬ РЕШЕНИЕ
2. Насос, подающий воду в паровой котел, имеет два водяных цилиндра. Диаметры цилиндров 80 мм, а ход поршня 150 мм. Чему равна часовая производительность насоса, если каждый поршень делает 50 рабочих ходов в минуту?
СМОТРЕТЬ РЕШЕНИЕ
3. Во сколько раз надо увеличить высоту цилиндра, не меняя его основание, чтобы объем увеличился в n раз? Во сколько раз надо увеличить радиус основания цилиндра, не меняя высоту, чтобы объем увеличился в n раз?
СМОТРЕТЬ РЕШЕНИЕ
4. В цилиндр вписана правильная треугольная призма, а в призму вписан цилиндр. Найдите отношение объемов цилиндров.
СМОТРЕТЬ РЕШЕНИЕ
5. Найдите объем цилиндра, вписанного в правильную шестиугольную призму, у которой каждое ребро равно a
СМОТРЕТЬ РЕШЕНИЕ
6. Свинцовая труба (плотность свинца 11,4 г/см3 ) с толщиной стенок 4 мм имеет внутренний диаметр 13 мм. Какова масса 25 м этой трубы?
СМОТРЕТЬ РЕШЕНИЕ
7. Куча щебня имеет коническую форму, радиус основания которой 2 м, а образующая 2,5 м. Найдите объем кучи щебня.
СМОТРЕТЬ РЕШЕНИЕ
8. Осевым сечением конуса является равнобедренный прямоугольный треугольник, площадь которого 9 м2. Найдите объем конуса.
СМОТРЕТЬ РЕШЕНИЕ
9. Длина образующей конуса равна l, а длина окружности основания — с. Найдите объем конуса.
СМОТРЕТЬ РЕШЕНИЕ
10. Образующая конуса составляет с плоскостью основания угол α. Найдите объем конуса.
СМОТРЕТЬ РЕШЕНИЕ
11. Стог сена имеет форму цилиндра с коническим верхом. Радиус его основания 2,5 м, высота 4 м, причем цилиндрическая часть стога имеет высоту 2,2 м. Плотность сена 0,03 г/см3. Определите массу стога сена.
СМОТРЕТЬ РЕШЕНИЕ
12. Жидкость, налитая в конический сосуд высотой 0,18 м и диаметром основания 0,24 м, переливается в цилиндрический сосуд, диаметр основания которого 0,1 м. Как высоко будет стоять уровень жидкости в сосуде?
СМОТРЕТЬ РЕШЕНИЕ
13. Равносторонний треугольник вращается вокруг своей стороны a. Найдите объем полученного тела вращения.
СМОТРЕТЬ РЕШЕНИЕ
14. Прямоугольный треугольник с катетами A и B вращается около гипотенузы. Найдите объем полученного тела вращения.
СМОТРЕТЬ РЕШЕНИЕ
15. Найдите объем усеченного конуса, у которого радиусы оснований R1 и R2 (R1 < R2), а высота h.
СМОТРЕТЬ РЕШЕНИЕ
16. Сосновое бревно длиной 15,5 м имеет диаметры концов 42 см и 25 см. Какую ошибку (в процентах) совершают, когда вычисляют объем бревна, умножая его длину на площадь поперечного сечения в середине бревна?
СМОТРЕТЬ РЕШЕНИЕ
17. Радиусы оснований усеченного конуса R и r, образующая наклонена к плоскости основания под углом 45°. Найдите объем.
СМОТРЕТЬ РЕШЕНИЕ
18. Площадь осевого сечения усеченного конуса равна разности площадей оснований, а радиусы оснований R и r. Найдите объем этого конуса.
СМОТРЕТЬ РЕШЕНИЕ
19. Усеченный конус, у которого радиусы оснований 4 см и 22 см, и равновеликий цилиндр имеют одну и ту же высоту. Чему равен радиус основания этого цилиндра?
СМОТРЕТЬ РЕШЕНИЕ
20. По данным радиусам оснований R и r определите отношение объемов усеченного конуса и полного конуса
СМОТРЕТЬ РЕШЕНИЕ
21. Чугунный шар регулятора имеет массу 10 кг. Найдите диаметр шара (плотность чугуна 7,2 г/см3).
СМОТРЕТЬ РЕШЕНИЕ
22. Требуется переплавить в один шар два чугунных шара с диаметром 25 см и 35 см. Найдите диаметр нового шара.
СМОТРЕТЬ РЕШЕНИЕ
23. Имеется кусок свинца массой 1 кг. Сколько шариков диаметром 1 см можно отлить из куска (плотность свинца 11,4 г/см3)?
СМОТРЕТЬ РЕШЕНИЕ
24. Из деревянного цилиндра, высота которого равна диаметру основания, выточен наибольший шар. Сколько процентов материала сточено ?
СМОТРЕТЬ РЕШЕНИЕ
25. Внешний диаметр полого шара 18 см. Толщина стенок 3 см. Найдите объем материала, из которого изготовлен шар.
СМОТРЕТЬ РЕШЕНИЕ
26. Сосуд имеет форму полушара радиуса R, дополненного цилиндром. Какой высоты должна быть цилиндрическая часть, чтобы сосуд имел объем V?
СМОТРЕТЬ РЕШЕНИЕ
27. Плоскость, перпендикулярная диаметру шара, делят его на части 3 см и 9 см. На какие части делится объем шара?
СМОТРЕТЬ РЕШЕНИЕ
28. Какую часть объема шара составляет объем шарового сегмента, у которого высота равна 0,1 диаметра шара?
СМОТРЕТЬ РЕШЕНИЕ
29. Два равных шара расположены так, что центр одного лежит на поверхности другого. Как относится объем общей части шаров к объему целого шара?
СМОТРЕТЬ РЕШЕНИЕ
30. Диаметр шара, равный 30 см, является осью цилиндра, у которого радиус основания равен 12 см. Найдите объем части шара, заключенный внутри цилиндра.
СМОТРЕТЬ РЕШЕНИЕ
31. Чему равен объем шарового сектора, если радиус окружности его основания 60 см, а радиус шара 75 см.
СМОТРЕТЬ РЕШЕНИЕ
32. Круговой сектор с углом 30° и радиусом R вращается около одного из боковых радиусов. Найдите объем полученного тела.
СМОТРЕТЬ РЕШЕНИЕ
33. Поверхности двух шаров относятся как m:n. Как относятся их объемы?
СМОТРЕТЬ РЕШЕНИЕ
34. Гипотенуза и катеты треугольника являются диаметрами трех шаров. Какая существует зависимость между их поверхностями?
СМОТРЕТЬ РЕШЕНИЕ
35. Поверхность тела, образуемого вращением квадрата около стороны, равновелика поверхности шара, имеющего радиусом сторону квадрата. Докажите.
СМОТРЕТЬ РЕШЕНИЕ
36. Радиус шара 15 см. Какую площадь имеет часть его поверхности, видимая из точки, удаленной от центра на 25 см?
СМОТРЕТЬ РЕШЕНИЕ
37. Шар радиусом 10 см цилиндрически просверлен по оси. Диаметр отверстия 12 см. Найдите полную поверхность тела.
СМОТРЕТЬ РЕШЕНИЕ
38. Цилиндрическая дымовая труба с диаметром 65 см имеет высоту 18 м. Сколько жести нужно для ее изготовления, если на заклепки уходит 10% материала?
СМОТРЕТЬ РЕШЕНИЕ
39. Полуцилиндрический свод подвала имеет 6 м в длину и 5,8 м в диаметре. Найдите полную поверхность подвала.
СМОТРЕТЬ РЕШЕНИЕ
40. Из круглого листа металла выштампован цилиндрический стакан диаметром 25 см и высотой 50 см. Предполагая, что площадь листа при штамповке не изменилась, найдите диаметр листа.
СМОТРЕТЬ РЕШЕНИЕ
41. В цилиндре площадь основания равна Q, а площадь осевого сечения M. Чему равна полная поверхность цилиндра?
СМОТРЕТЬ РЕШЕНИЕ
42. Конусообразная палатка высотой 3,5 м и диаметром основания 4 м покрыта парусиной. Сколько квадратных метров парусины пошло на палатку?
СМОТРЕТЬ РЕШЕНИЕ
43. Крыша башни имеет форму конуса. Высота крыши 2 м, диаметр башни 6 м. Найдите поверхность крыши.
СМОТРЕТЬ РЕШЕНИЕ
44. Площадь основания конуса S, а образующие наклонены к плоскости основания под углом α. Найдите боковую поверхность конуса
СМОТРЕТЬ РЕШЕНИЕ
45. Как относятся между собой боковая и полная поверхности равностороннего конуса (в сечении правильный треугольник)?
СМОТРЕТЬ РЕШЕНИЕ
46. Полная поверхность равностороннего конуса равновелика поверхности шара, построенного на его высоте как на диаметре. Докажите.
СМОТРЕТЬ РЕШЕНИЕ
47. Полукруг свернут в коническую поверхность. Найдите угол между образующей и осью конуса.
СМОТРЕТЬ РЕШЕНИЕ
48. Радиус кругового сектора равен 3 м, его угол 120°. Сектор свернут в коническую поверхность. Найдите радиус основания конуса.
СМОТРЕТЬ РЕШЕНИЕ
49. Сколько квадратных метров латунного листа потребуется, чтобы сделать рупор , у которого диаметр одного конца 0,43 м, другого конца — 0,036 м и образующая — 1,42 м?
СМОТРЕТЬ РЕШЕНИЕ
50. Сколько олифы потребуется для окраски внешней поверхности 100 ведер, имеющих форму усеченного конуса с диаметрами оснований 25 см и 30 см и образующей 27,5 см, если на 1 м2 требуется 150 г олифы?
СМОТРЕТЬ РЕШЕНИЕ | |
|
|
