Решебник для учеников старших классов и абитуриентов
Решебник к задачнику для сдающих выпускные и вступительные экзамены по курсу школьной геометрии
Планиметрия
Треугольник: Основы Неравенство треугольника Прямоугольный треугольник Площадь треугольника. Отношение площадей треугольников Подобие треугольников и его применение Основные соотношения в треугольнике Теорема Пифагора. Пифагоров треугольник, египетский треугольник
Параллельные прямые
Окружность: Основы Вписанная и описанная окружность Мера окружности Многоугольники: Теорема о сумме внутренних углов выпуклого многоугольника Четырехугольники
Векторы: Операции над векторами Координаты вектора Скалярное произведение векторов
Осевая и центральная симметрия Движение
Стереометрия
Параллельность прямых и плоскостей Скрещивающиеся прямые Параллельность плоскостей Перпендикулярность прямой и плоскости Перпендикулярность плоскостей
Многогранники: Общее понятие параллелепипеда Объем и площадь многогранников
Векторы в пространстве:
Операции над векторами Скалярное произведение в пространстве Компланарные векторы Координаты вектора
Движения
Цилиндр, конус и шар: Площадь и объем Сфера и шар
Дополнительные задачи Интересные задачи Задачи с олимпиады Задачи ученых
Движение в пространстве 1 Докажите, что при центральной симметрии плоскость, не проходящая через центр симметрии, отображается на параллельную ей плоскость; плоскость, проходящая через центр симметрии, отображается на себя. СМОТРЕТЬ РЕШЕНИЕ
2 При зеркальной симметрии относительно плоскости α плоскость β отображается на плоскость β1. Докажите, что если β параллельна α, то β1||α; β ⊥ α, то β1 совпадает с β. СМОТРЕТЬ РЕШЕНИЕ
3 Докажите, что при движении прямая отображается на прямую; плоскость отображается на плоскость. СМОТРЕТЬ РЕШЕНИЕ
4 Докажите, что при движении отрезок отображается на отрезок; угол отображается на равный ему угол СМОТРЕТЬ РЕШЕНИЕ
1 Докажите, что при осевой симметрии прямая, параллельная оси, отображается на прямую, параллельную оси; прямая, образующая с осью угол φ, отображается на прямую, также образующую с осью угол СМОТРЕТЬ РЕШЕНИЕ
2 При зеркальной симметрии прямая а отображается на прямую a1. Докажите, что a и a1 лежат в одной плоскости. СМОТРЕТЬ РЕШЕНИЕ
3 Докажите, что при параллельном переносе на вектор p, где p не равно 0: прямая, не параллельная вектору p и не содержащая этот вектор, отображается на параллельную ей прямую; прямая, параллельная вектору p или содержащая этот вектор, отображается на себя. СМОТРЕТЬ РЕШЕНИЕ
4 Докажите, что при движении параллельные прямые отображаются на параллельные прямые; параллельные плоскости отображаются на параллельные плоскости СМОТРЕТЬ РЕШЕНИЕ
1 Докажите, что при центральной симметрии прямая, не проходящая через центр симметрии, отображается на параллельную ей прямую; прямая, проходящая через центр симметрии, отображается на себя. СМОТРЕТЬ РЕШЕНИЕ
2 Треугольник A1B1C1 получен параллельным переносом треугольника ABC на вектор P. Точки M1 и M соответственно точки пересечения медиан треугольников A1B1C1 и ABC. Докажите, что при параллельном переносе на вектор р точка M переходит в M1 СМОТРЕТЬ РЕШЕНИЕ
3 Докажите, что при движении окружность отображается на окружность того же радиуса; прямоугольный параллелепипед отображается на прямоугольный параллелепипед с теми же измерениями СМОТРЕТЬ РЕШЕНИЕ
Цилиндр, конус. Площадь и объем 1 Высота цилиндра на 12 см больше его радиуса, а площадь полной поверхности равна 288π см^2. Найдите радиус основания и высоту СМОТРЕТЬ РЕШЕНИЕ
2 Высота конуса равна h, а угол между высотой и образующей равен 60. Найдите площадь сечения конуса плоскостью, проходящей через две взаимно перпендикулярные образующие. СМОТРЕТЬ РЕШЕНИЕ
3 Площадь основания цилиндра равна Q, а площадь его осевого сечения равна S. Найдите объем СМОТРЕТЬ РЕШЕНИЕ
1 Диаметр основания цилиндра равен 1 м, высота цилиндра равна длине окружности основания. Найдите площадь боковой поверхности СМОТРЕТЬ РЕШЕНИЕ
2 Найдите высоту конуса, если площадь его осевого основания равна 6 дм^2, а площадь основания равна 8 дм2. СМОТРЕТЬ РЕШЕНИЕ
3 Угол между образующей и осью конуса равен 45, образующая равна 6,5 см. Найдите площадь боковой поверхности СМОТРЕТЬ РЕШЕНИЕ
4 Пусть V, r и h соответственно объем, радиус и высота цилиндра. Найдите V, если r = 2√2 см, h = 3 см; r, если V = 120 см3, h = 3,6 см; h, если r = h, V = 8π см3. СМОТРЕТЬ РЕШЕНИЕ
5 Высота конуса равна 5 см. На расстоянии 2 см от вершины его пересекает плоскость, параллельная основанию. Найдите объем исходного конуса, если объем меньшего конуса, отсекаемого от исходного равен 24 см^3 СМОТРЕТЬ РЕШЕНИЕ
6 Радиусы оснований усеченного конуса равны 3 м и 6 м, а образующая равна 5 м. Найдите объем усеченного конуса СМОТРЕТЬ РЕШЕНИЕ
1 Площадь осевого сечения конуса равна 0,6 см2. Высота конуса равна 1,2 см. Вычислите площадь полной поверхности конуса. СМОТРЕТЬ РЕШЕНИЕ
2 Полная поверхность конуса равна πS кв.ед. Развернутая на плоскости боковая поверхность конуса представляет собой сектор с углом 60. Определить объем конуса. СМОТРЕТЬ РЕШЕНИЕ
3 Какое количество нефти в тоннах вмещает цилиндрическая цистерна диаметром 18 м и высотой 7 м, если плотность нефти равна 0,85 г/см3 СМОТРЕТЬ РЕШЕНИЕ
4 Найдите объем конуса, если его образующая равна 13 см, а площадь осевого сечения равна 60 см2 СМОТРЕТЬ РЕШЕНИЕ
Сфера и шар 1.1 Напишите уравнение сферы с центром A, проходящей через точку N, если А(-2; 2; 0), N (5; 0; -1); А (-2; 2; 0), N (0; 0; 0); А (0; 0; 0), N (5; 3; 1) СМОТРЕТЬ РЕШЕНИЕ
1.2 Все стороны ромба, диагонали которого равны 15 см и 20 см, касаются сферы радиуса 10 см. Найдите расстояние от центра сферы до плоскости ромба. СМОТРЕТЬ РЕШЕНИЕ
1.1 Напишите уравнение сферы радиуса R с центром A, если А (2; -4; 7), R = 3; А (0; 0; 0), R = √2; А (2; 0; 0), R = 4. СМОТРЕТЬ РЕШЕНИЕ
1.2 Через точку, делящую радиус сферы пополам, проведена секущая плоскость, перпендикулярная к этому радиусу. Радиус сферы равен R. Найдите радиус получившегося сечения; площадь боковой поверхности конуса, вершиной которого является центр сферы, а основанием полученное сечение СМОТРЕТЬ РЕШЕНИЕ
1.3 Радиус сферы равен 112 см. Точка, лежащая на плоскости, касательной к сфере, удалена от точка касания на 15 см. Найдите расстояние от этой точки до ближайшей к ней точки сферы. СМОТРЕТЬ РЕШЕНИЕ
1.1 Вершины прямоугольника лежат на сфере радиуса 10 см. Найдите расстояние от центра сферы до плоскости прямоугольника, если его диагональ равна 16 см. СМОТРЕТЬ РЕШЕНИЕ
1.2 Стороны треугольника касаются сферы радиуса 5 см. Найдите расстояние от центра сферы до плоскости треугольника, если его стороны равны 10 см, 10 см и 12 см. СМОТРЕТЬ РЕШЕНИЕ
2.1 Площадь сферы равна 324 см2. Найдите радиус СМОТРЕТЬ РЕШЕНИЕ
2.2 Шар и цилиндр имеют равные объемы, а диаметр шара равен диаметру основания цилиндра. Выразите высоту цилиндра через радиус шара. СМОТРЕТЬ РЕШЕНИЕ
2.1 Площадь сечения сферы, проходящего через ее центр, равна 9 м2. Найдите площадь сферы. СМОТРЕТЬ РЕШЕНИЕ
2.2 Используя формулу площади сферы, докажите, что площади двух сфер пропорциональны квадратам их радиусов. СМОТРЕТЬ РЕШЕНИЕ
2.3 Радиусы двух параллельных сечений сферы равны 9 см и 12 см. Расстояние между секущими плоскостями равно 3 см. Найдите площадь сферы. СМОТРЕТЬ РЕШЕНИЕ
2.1 Найдите площадь сферы, радиус которой равен 6 см; 2 дм; √2 м; 2√3 см. СМОТРЕТЬ РЕШЕНИЕ
Дополнительные задачи 1 Через середину C произвольной хорды AB окружности проведены две хорды KL и MN (точки K и M лежат по одну сторону от AB). Отрезок KN пересекает AB в точке P. LM пересекает AB в точке Q. Докажите, что PC=QC. СМОТРЕТЬ РЕШЕНИЕ
2 Три равные окружности радиуса R пересекаются в точке M. Пусть A, B и C три другие точки их попарного пересечения. Докажите, что радиус окружности, описанной около треугольника ABC, равен R; M точка пересечения высот треугольника ABC. СМОТРЕТЬ РЕШЕНИЕ
3 Четыре окружности радиуса R пересекаются по три в точках M и N, и по две в точках A, B, C и D. Докажите что ABCD параллелограмм. СМОТРЕТЬ РЕШЕНИЕ
4 Докажите, что точка пересечения продолжений боковых сторон трапеции, середины оснований и точка пересечения диагоналей лежат на одной прямой. СМОТРЕТЬ РЕШЕНИЕ
5 Найдите геометрическое место точек, расстояния от каждой из которых до двух данных точек относятся, как m:n. СМОТРЕТЬ РЕШЕНИЕ
1.1 На основании AC равнобедренного треугольника ABC взята точка D, а на отрезке BD - точка K так, что AD:DC = AKD:DKC = 2:1. Докажите, что AKD =ABC СМОТРЕТЬ РЕШЕНИЕ
1.2 Внутри треугольника ABC с острыми углами при вершинах A и C взята точка K так, что AKB=90, CKB=180 - ACB. В каком отношении прямая BK делит сторону AC, если высота, опущенная на AC, делит эту сторону в отношении λ, считая от вершины A СМОТРЕТЬ РЕШЕНИЕ
1.3 Четырехугольник ABCD вписан в окружность, DC=m, DA=n. На стороне BA взяты точки A1 и K, а на стороне BC C1 и M. Известно, что BA1=a, BC1=c, BK=BM и что отрезки A1M и C1K пересекаются на диагонали BD. Найдите BK и BM. СМОТРЕТЬ РЕШЕНИЕ
2.1 Пусть M и N середины сторон CD и DE правильного шестиугольника ABCDEF, P точка пересечения отрезков AM и BN. Докажите, что S(ABP)=S(MDNP) СМОТРЕТЬ РЕШЕНИЕ
2.2 В окружность радиуса 2√7 вписана трапеция ABCD, причем ее основание AD является диаметром, а угол BAD равен 60. Хорда CE пересекает диаметр AD в точке P такой, что AP:PD = 1:3. Найдите площадь треугольника BPE. СМОТРЕТЬ РЕШЕНИЕ
2.3 В данную окружность впишите прямоугольный треугольник, катеты которого проходят через две данные точки внутри окружности. СМОТРЕТЬ РЕШЕНИЕ
2.4 На дуге BC окружности, описанной около равностороннего треугольника ABC, взята произвольная точка P. Докажите, что AP=BP + CP. СМОТРЕТЬ РЕШЕНИЕ
2.5 AA1 и BB1 высоты остроугольного треугольника ABC. Докажите, что треугольник AA1C подобен треугольнику BB1C; треугольник ABC подобенA1B1C СМОТРЕТЬ РЕШЕНИЕ
2.6 Вершина A остроугольного треугольника ABC соединена отрезком с центром O описанной окружности. Из вершины A проведена высота AH. Докажите, что угол BAH =OAC СМОТРЕТЬ РЕШЕНИЕ
2.7 С помощью одной линейки опустите перпендикуляр из данной точки на данный диаметр данной окружности, точка не лежит ни на окружности, ни на диаметре СМОТРЕТЬ РЕШЕНИЕ
На гипотенузе и катетах прямоугольного треугольника как на диаметрах построены полуокружности так, как показано на рисунке. Докажите, что сумма площадей заштрихованных луночек равна площади треугольника. СМОТРЕТЬ РЕШЕНИЕ
В дугу AB окружности вписана ломаная AMB из двух отрезков AM>MB. Докажите, что основание перпендикуляра KH, опущенного из середины K дуги AB на отрезок AM, делит ломаную пополам, т. е. AH=HM + MB. СМОТРЕТЬ РЕШЕНИЕ
С помощью циркуля и линейки постройте точку, из которой данные отрезки видны под данными углами. СМОТРЕТЬ РЕШЕНИЕ
Впишите в данный остроугольный треугольник ABC треугольник наименьшего периметра. СМОТРЕТЬ РЕШЕНИЕ
Внутри остроугольного треугольника найдите точку, сумма расстояний от которой до вершин минимальна. СМОТРЕТЬ РЕШЕНИЕ
Докажите, что в любом треугольнике точка H пересечения высот (ортоцентр), центр O описанной окружности и точка M пересечения медиан (центр тяжести) лежат на одной прямой, причем точка M расположена между точками O и H, и MH=2*MO СМОТРЕТЬ РЕШЕНИЕ
В треугольник вписана окружность. Точки касания соединены с противоположными вершинами треугольника. Докажите, что полученные отрезки пересекаются в одной точке. СМОТРЕТЬ РЕШЕНИЕ
Докажите, что прямые, проведенные через середины сторон вписанного четырехугольника перпендикулярно противоположным сторонам, пересекаются в одной точке. СМОТРЕТЬ РЕШЕНИЕ
Дан треугольник ABC. Некоторая прямая пересекает его стороны AB, BC и продолжение стороны AC в точках C1, A1, B1 соответственно. Докажите, что BA1/A1C * CB1/B1A * AC1/C1B = 1 СМОТРЕТЬ РЕШЕНИЕ
Докажите, что середины сторон любого четырехугольника являются вершинами параллелограмма. СМОТРЕТЬ РЕШЕНИЕ
