Решебник для учеников старших классов и абитуриентов
Решебник к задачнику для сдающих выпускные и вступительные экзамены по курсу школьной геометрии
Планиметрия
Треугольник: Основы Неравенство треугольника Прямоугольный треугольник Площадь треугольника. Отношение площадей треугольников Подобие треугольников и его применение Основные соотношения в треугольнике Теорема Пифагора. Пифагоров треугольник, египетский треугольник
Параллельные прямые
Окружность: Основы Вписанная и описанная окружность Мера окружности Многоугольники: Теорема о сумме внутренних углов выпуклого многоугольника Четырехугольники
Векторы: Операции над векторами Координаты вектора Скалярное произведение векторов
Осевая и центральная симметрия Движение
Стереометрия
Параллельность прямых и плоскостей Скрещивающиеся прямые Параллельность плоскостей Перпендикулярность прямой и плоскости Перпендикулярность плоскостей
Многогранники: Общее понятие параллелепипеда Объем и площадь многогранников
Векторы в пространстве:
Операции над векторами Скалярное произведение в пространстве Компланарные векторы Координаты вектора
Движения
Цилиндр, конус и шар: Площадь и объем Сфера и шар
Дополнительные задачи Интересные задачи Задачи с олимпиады Задачи ученых
Треугольник. Основы 1 В равнобедренном треугольнике основание в два раза меньше боковой стороны, а периметр равен 50 см. Найдите стороны треугольника СМОТРЕТЬ РЕШЕНИЕ
2 На основании BC равнобедренного треугольника ABC отмечены точки M и N так, что BM = CN. Докажите, что: а) ΔBAM = ΔCAN; б) треугольник AMN равнобедренный. СМОТРЕТЬ РЕШЕНИЕ
3 В равнобедренном треугольнике ABC с основанием AC проведена биссектриса AD. Найдите ADC, если С = 50 СМОТРЕТЬ РЕШЕНИЕ
4 Докажите, что в равнобедренном треугольнике отрезок, соединяющий любую точку основания, отличную от вершины, с противоположной вершиной, меньше боковой стороны. СМОТРЕТЬ РЕШЕНИЕ
1 Докажите, что в равностороннем треугольнике все углы равны СМОТРЕТЬ РЕШЕНИЕ
2 В равнобедренном треугольнике ABC с основанием AC проведена медиана BD. На сторонах AB и СИ отмечены соответственно точки E и F так, что AE = CF. Докажите, что BDE = BDF; ADE = CDF. СМОТРЕТЬ РЕШЕНИЕ
3 В треугольниках ABC и A1B1C1 отрезки CO и C1O1 медианы, BC = B1C1, B = B1 и С = С1. Докажите, что: AOС = A1O1C1; BCO = B1C1O1. СМОТРЕТЬ РЕШЕНИЕ
4 AB = CD, AD = BC, BE биссектриса угла ABC, а DF биссектриса угла ADC. Докажите, что ABE = ADF; ABE = CDF. СМОТРЕТЬ РЕШЕНИЕ
5 Биссектрисы углов A и B треугольника ABC пересекаются в точке M. Найдите AMB, если A = 58, B = 96 СМОТРЕТЬ РЕШЕНИЕ
6 Через вершину С треугольника ABC проведена прямая, параллельная его биссектрисе AA1 и пересекающая прямую AB в точке D. Докажите, что AC = AD. СМОТРЕТЬ РЕШЕНИЕ
1 Медиана AD треугольника ABC продолжена за сторону BC на отрезок DE, равный AD, и точка E соединена с точкой C. Докажите, что ABD = ECD; найдите ACE, если ACD = 56, ABD = 40 СМОТРЕТЬ РЕШЕНИЕ
2 Медиана AM треугольника ABC равна отрезку BM. Докажите, что один из углов треугольника ABC равен сумме двух других углов. СМОТРЕТЬ РЕШЕНИЕ
3 В треугольниках ABC и A1B1C1 AB = A1B1, BC = B1C1, B = B1. На сторонах AB и A1B1 отмечены точки D и D1 так, что ACD = A1C1D1. Докажите, что BCD = B1C1D1. СМОТРЕТЬ РЕШЕНИЕ
4 В треугольниках ABC и A1B1C1 отрезки AD и A1D1 биссектрисы, AB = A1B1, BD = B1D1 и AD = A1D1. Докажите, что ABC = A1B1C1 СМОТРЕТЬ РЕШЕНИЕ
5 Докажите, что каждый угол равностороннего треугольника равен 60 СМОТРЕТЬ РЕШЕНИЕ
Неравенство треугольника 1 Существует ли треугольник со сторонами 1 м, 2 м и 3 м; 1,2 дм, 1 дм и 2,4 дм СМОТРЕТЬ РЕШЕНИЕ
1 1. В равнобедренном треугольнике одна сторона равна 25 см, а другая равна 10 см. Какая из них является основанием СМОТРЕТЬ РЕШЕНИЕ
2 Два внешних угла треугольника при разных вершинах равны. Периметр треугольника равен 74 см, а одна из сторон равна 16 см. Найдите две другие стороны треугольника. СМОТРЕТЬ РЕШЕНИЕ
1 Периметр равнобедренного треугольника равен 25 см, разность двух сторон равна 4 см, а один из его внешних углов – острый. Найдите стороны треугольника. СМОТРЕТЬ РЕШЕНИЕ
Прямоугольный треугольник 1 Из середины D стороны BC равностороннего треугольника ABC проведен перпендикуляр DM к прямой AC. Найдите AM, если AB = 12 см. СМОТРЕТЬ РЕШЕНИЕ
2 В треугольниках ABC и A1B1C1 углы A и A1 прямые, BD и B1D1 биссектрисы. Докажите, что ΔABC = A1B1C1, если B = B1 и BD = B1D1. СМОТРЕТЬ РЕШЕНИЕ
1 Один из углов прямоугольного треугольника равен 60, а сумма гипотенузы и меньшего из катетов равна 26,4 см. Найдите гипотенузу треугольника СМОТРЕТЬ РЕШЕНИЕ
2 Угол, противолежащий основанию равнобедренного треугольника, равен 120. Высота, проведенная к боковой стороне, равна 9 см. Найдите основание треугольника. СМОТРЕТЬ РЕШЕНИЕ
3 Высоты AA1 и BB1 треугольника ABC пересекаются в точке М. Найдите AMB, если A = 55, B = 67 СМОТРЕТЬ РЕШЕНИЕ
4 На сторонах угла O отмечены точки A и B так, что OA = OB. Через эти точки проведены прямые, перпендикулярные к сторонам угла и пересекающиеся в точке C. Докажите, что луч OC биссектриса угла O СМОТРЕТЬ РЕШЕНИЕ
1 Докажите, что в равнобедренном треугольнике высоты, проведенные из вершин основания, равны. СМОТРЕТЬ РЕШЕНИЕ
2 Докажите, что два остроугольных треугольника равны, если сторона и высоты, проведенные из концов этой стороны, одного треугольника соответственно равны стороне и высотам, проведенным из концов этой стороны, другого треугольника СМОТРЕТЬ РЕШЕНИЕ
Площадь треугольника. Отношение площадей треугольников 1 Стороны AB и BC треугольника ABC равны соответственно 16 см и 22 см, а высота, проведенная к стороне AB, равна 11 см. Найдите высоту, проведенную к стороне BC. СМОТРЕТЬ РЕШЕНИЕ
2 Сравните площади двух треугольников, на которые разделяется данный треугольник его медианой СМОТРЕТЬ РЕШЕНИЕ
3 Докажите, что сумма расстояний от точки на основании равнобедренного треугольника до боковых сторон не зависит от положения этой точки. СМОТРЕТЬ РЕШЕНИЕ
1 Площадь прямоугольного треугольника равна 168 см2. Найдите его катеты, если отношение их длин равно 7/12 СМОТРЕТЬ РЕШЕНИЕ
2 Внутри равностороннего треугольника взята точка M, отстоящая от его сторон на расстояниях b, c, d. Найти высоту треугольника. СМОТРЕТЬ РЕШЕНИЕ
3 Медианы одного треугольника равны сторонам другого треугольника. Найти отношение площадей этих треугольников СМОТРЕТЬ РЕШЕНИЕ
