Решебник для учеников старших классов и абитуриентов
Решебник к задачнику для сдающих выпускные и вступительные экзамены по курсу школьной геометрии
Планиметрия
Треугольник: Основы Неравенство треугольника Прямоугольный треугольник Площадь треугольника. Отношение площадей треугольников Подобие треугольников и его применение Основные соотношения в треугольнике Теорема Пифагора. Пифагоров треугольник, египетский треугольник
Параллельные прямые
Окружность: Основы Вписанная и описанная окружность Мера окружности Многоугольники: Теорема о сумме внутренних углов выпуклого многоугольника Четырехугольники
Векторы: Операции над векторами Координаты вектора Скалярное произведение векторов
Осевая и центральная симметрия Движение
Стереометрия
Параллельность прямых и плоскостей Скрещивающиеся прямые Параллельность плоскостей Перпендикулярность прямой и плоскости Перпендикулярность плоскостей
Многогранники: Общее понятие параллелепипеда Объем и площадь многогранников
Векторы в пространстве:
Операции над векторами Скалярное произведение в пространстве Компланарные векторы Координаты вектора
Движения
Цилиндр, конус и шар: Площадь и объем Сфера и шар
Дополнительные задачи Интересные задачи Задачи с олимпиады Задачи ученых
Вписанная и описанная окружность 1 Найдите основание равнобедренного треугольника, если центр вписанной в него окружности делит высоту, проведенную к основанию, в отношении 12:5, считая от вершины, а боковая сторона равна 60 см. СМОТРЕТЬ РЕШЕНИЕ
2 Найдите сторону равностороннего треугольника, если радиус описанной около него окружности равен 10 см. СМОТРЕТЬ РЕШЕНИЕ
3 Докажите, что площадь описанного многоугольника равна половине произведения его периметра на радиус вписанной окружности. СМОТРЕТЬ РЕШЕНИЕ
4 Докажите, что если в параллелограмм можно вписать окружность и можно описать около него окружность, то этот параллелограмм квадрат СМОТРЕТЬ РЕШЕНИЕ
1 Точка касания окружности, вписанной в равнобедренный треугольник, делит одну из боковых сторон на отрезки, равные 3 см и 4 см, считая от основания. Найдите периметр треугольника. СМОТРЕТЬ РЕШЕНИЕ
2 Угол, противолежащий основанию равнобедренного треугольника равен 120, боковая сторона треугольника равна 8 см. Найдите диаметр окружности, описанной около этого треугольника. СМОТРЕТЬ РЕШЕНИЕ
3 Докажите, что если в параллелограмм можно вписать окружность, то этот параллелограмм ромб СМОТРЕТЬ РЕШЕНИЕ
4 Отрезок AB является диаметром окружности, а хорды BC и AD параллельны. Докажите, что хорда CD является диаметром. СМОТРЕТЬ РЕШЕНИЕ
1 В треугольник ABC вписана окружность, которая касается сторон AB, BC и СА в точках P, Q и R. Найдите АР, РВ, BQ, QC, CR, RA, если AB = 10 см, BC = 12 см, СА = 5 см. СМОТРЕТЬ РЕШЕНИЕ
2 Окружность с центром О описана около прямоугольного треугольника. Докажите, что точка O середина гипотенузы. Найдите стороны треугольника, если диаметр окружности равен d, а один из острых углов треугольника равен α СМОТРЕТЬ РЕШЕНИЕ
3 Сумма двух противоположных сторон описанного четырехугольника равна 10 см, а его площадь 12 см2. Найдите радиус окружности, вписанной в этот четырехугольник. СМОТРЕТЬ РЕШЕНИЕ
4 В равнобедренный треугольник вписана окружность с центром O1 и около него описана окружность с центром О2. Докажите, что точки лежат на серединном перпендикуляре к основанию треугольника СМОТРЕТЬ РЕШЕНИЕ
5 В трапецию с основаниями a и b можно вписать окружность и можно описать около него окружность, то этот параллелограмм квадрат СМОТРЕТЬ РЕШЕНИЕ
Мера окружности 1 Найдите длину окружности, описанной около правильного треугольника со стороной a; прямоугольного треугольника с катетами a и b. СМОТРЕТЬ РЕШЕНИЕ
2 Как изменится площадь круга, если его радиус увеличить в k раз; уменьшить в k раз. СМОТРЕТЬ РЕШЕНИЕ
3 Площадь сектора с центральным углом 72 равна S. Найдите радиус сектора. СМОТРЕТЬ РЕШЕНИЕ
1 Как изменится радиус окружности, если ее длину увеличить в k раз; уменьшить в k раз СМОТРЕТЬ РЕШЕНИЕ
2 Найдите длину окружности, описанной около равнобедренного треугольника с основанием а и боковой стороной b; прямоугольника с меньшей стороной а и острым углом α между диагоналями; правильного шестиугольника, площадь которого равна 24√3 см2 СМОТРЕТЬ РЕШЕНИЕ
3 Диаметр основания Царь-Колокола, находящегося в Московском Кремле, равен 6,6 м. Найдите площадь основания колокола. СМОТРЕТЬ РЕШЕНИЕ
1 Как изменится длина окружности, если радиус окружности увеличить в три раза; уменьшить в два раза; увеличить в k раз; уменьшить в k раз СМОТРЕТЬ РЕШЕНИЕ
2 Найдите площадь круга, вписанного в равносторонний треугольник со стороной a; в прямоугольный треугольник с катетом а и прилежащим к нему острым углом α СМОТРЕТЬ РЕШЕНИЕ
3 На сторонах прямоугольного треугольника как на диаметрах построены три полукруга. Докажите, что площадь полукруга, построенного на гипотенузе, равна сумме площадей полукругов, построенных на катетах СМОТРЕТЬ РЕШЕНИЕ
Теорема о сумме внутренних углов выпуклого многоугольника 1 Сколько сторон имеет выпуклый многоугольник, каждый угол которого равен 90; 60; 120; 108 СМОТРЕТЬ РЕШЕНИЕ
1 Найдите углы выпуклого четырехугольника, если они равны друг другу СМОТРЕТЬ РЕШЕНИЕ
2 В выпуклом четырехугольнике прямая, проходящая через середины двух противоположных сторон, образует равные углы с диагоналями четырехугольника. Докажите, что диагонали равны. СМОТРЕТЬ РЕШЕНИЕ
1 Найдите углы A, В и С выпуклого четырехугольника АВСD, если А = В = C, а угол D 135 СМОТРЕТЬ РЕШЕНИЕ
2 Найдите углы выпуклого четырехугольника, если они пропорциональны числам 1, 2, 4, 5. СМОТРЕТЬ РЕШЕНИЕ
Четырехугольники 1 Докажите, что выпуклый четырехугольник ABCD является параллелограммом, если углы BAC = ACD и BCA = DAC; AB||CD, A = C. СМОТРЕТЬ РЕШЕНИЕ
2 Докажите, что отрезок, соединяющий середины боковых сторон трапеции, параллелен основаниям трапеции. СМОТРЕТЬ РЕШЕНИЕ
3 Диагонали прямоугольника ABCD пересекаются в точке О. Найдите периметр треугольника AOB, если CAD= 30, AC = 12 см. СМОТРЕТЬ РЕШЕНИЕ
4 Из вершины В ромба ABCD проведены перпендикуляры ВК и ВМ к прямым AD и DC. Докажите, что луч BD является биссектрисой угла KBM. СМОТРЕТЬ РЕШЕНИЕ
5 На диагонали AC квадрата ABCD взята точка М так, что АМ = AB. Через точку М проведена прямая, перпендикулярная к прямой AC и пересекающая BC в точке Н. Докажите, что ВН = НМ = МС. СМОТРЕТЬ РЕШЕНИЕ
1 Из вершин B и D параллелограмма ABCD, у которого AB ≠ BC и угол А острый, проведены перпендикуляры ВК и DM к прямой AC. Докажите, что четырехугольник BMDK параллелограмм. СМОТРЕТЬ РЕШЕНИЕ
2 Диагонали параллелограмма ABCD пересекаются в точке О. Докажите, что четырехугольник A1B1C1D1, вершинами которого являются середины отрезков OA, OB, OC и OD параллелограмм. СМОТРЕТЬ РЕШЕНИЕ
3 Сумма углов при одном из оснований трапеции равна 90. Докажите, что отрезок, соединяющий середины оснований трапеции, равен их полуразности. СМОТРЕТЬ РЕШЕНИЕ
4 В параллелограмме, смежные стороны которого не равны, проведены биссектрисы углов. Докажите, что при их пересечении образуется прямоугольник. СМОТРЕТЬ РЕШЕНИЕ
5 Докажите, что точка пересечения диагоналей ромба равноудалена от его сторон. СМОТРЕТЬ РЕШЕНИЕ
6 На двух сторонах треугольника вне его построены квадраты. Докажите, что отрезок, соединяющий концы сторон квадратов, выходящих из одной вершины треугольника, в два раза больше медианы треугольника, выходящей из той же вершины. СМОТРЕТЬ РЕШЕНИЕ
1 Точки М и N середины сторон AD и BC параллелограмма ABCD. Докажите, что прямые AN и MC делят диагональ BD на три равные части. СМОТРЕТЬ РЕШЕНИЕ
2 Большее основание трапеции в два раза больше ее меньшего основания. Через точку пересечения диагоналей проведена прямая, параллельная основаниям. Найти отношение высоты каждой из двух полученных трапеций к высоте данной трапеции. СМОТРЕТЬ РЕШЕНИЕ
3 В прямоугольнике со сторонами a и b проведены биссектрисы всех углов до взаимного пересечения. Найти площадь четырехугольника, образованного биссектрисами. СМОТРЕТЬ РЕШЕНИЕ
4 Длины сторон и диагоналей параллелограмма равны соответственно a, b, c и f. Найти углы параллелограмма, если a^4 + b^4 = c^2*f^2 СМОТРЕТЬ РЕШЕНИЕ
Операции над векторами 1 Пользуясь правилом многоугольника, упростите выражения (AB + BC – МС) + (MD – KD); (CB + AC + BD) – (MK + KD) СМОТРЕТЬ РЕШЕНИЕ
2 Отрезок ВВ1 медиана треугольника АВС. Выразите векторы В1С, ВВ1, ВА, BC через x = АВ1 и у = AB. СМОТРЕТЬ РЕШЕНИЕ
3 Докажите, что для любого вектора а справедливы равенства 1*а = a; (-1)*а = -а. СМОТРЕТЬ РЕШЕНИЕ
1 Дан произвольный четырехугольник MNPQ. Докажите, что MN + NQ = MP + PQ; MN + NP = MQ + QP СМОТРЕТЬ РЕШЕНИЕ
2 В треугольнике ABC AB = 6, BC = 8, В = 90. Найдите |BA| - |BC| и |BA – BC|; |AB| + |BC| и |AB + ВС|; |BA| + |BC| и |BA + BC|; |AB| – |BC| и |AB – BC|. СМОТРЕТЬ РЕШЕНИЕ
3 Дан параллелограмм ABCD. Докажите, что XA + XC = XB + XD, где X произвольная точка плоскости. СМОТРЕТЬ РЕШЕНИЕ
4 Дан вектор p = 3a, где а≠0. Напишите, как направлен каждый из векторов a, -а, 1/2 a -2а, 6а по отношению к вектору p, и выразите длины этих векторов через |p| СМОТРЕТЬ РЕШЕНИЕ
1 Докажите, что если A, B, C и D произвольные точки, то AB + BC + CD + DA = 0. СМОТРЕТЬ РЕШЕНИЕ
2 Точки M и N середины сторон AB и AC треугольника АВС. Выразите векторы B1С, ВB1, ВА, BC через x = AB1 и y = AB СМОТРЕТЬ РЕШЕНИЕ
3 Пусть x = m + n, y = m – n. Выразите через m и n векторы 2x – 2y; 2x + 1/2y; –x - 1/3y СМОТРЕТЬ РЕШЕНИЕ
