Решебник для учеников старших классов и абитуриентов
Решебник к задачнику для сдающих выпускные и вступительные экзамены по курсу школьной геометрии
Планиметрия
Треугольник: Основы Неравенство треугольника Прямоугольный треугольник Площадь треугольника. Отношение площадей треугольников Подобие треугольников и его применение Основные соотношения в треугольнике Теорема Пифагора. Пифагоров треугольник, египетский треугольник
Параллельные прямые
Окружность: Основы Вписанная и описанная окружность Мера окружности Многоугольники: Теорема о сумме внутренних углов выпуклого многоугольника Четырехугольники
Векторы: Операции над векторами Координаты вектора Скалярное произведение векторов
Осевая и центральная симметрия Движение
Стереометрия
Параллельность прямых и плоскостей Скрещивающиеся прямые Параллельность плоскостей Перпендикулярность прямой и плоскости Перпендикулярность плоскостей
Многогранники: Общее понятие параллелепипеда Объем и площадь многогранников
Векторы в пространстве:
Операции над векторами Скалярное произведение в пространстве Компланарные векторы Координаты вектора
Движения
Цилиндр, конус и шар: Площадь и объем Сфера и шар
Дополнительные задачи Интересные задачи Задачи с олимпиады Задачи ученых
Скрещивающиеся прямые 1 Точка D не лежит в плоскости треугольника АВС, точки М, N и P середины отрезков DA, DB и DC соответственно, точка К лежит на отрезке BN. Выясните взаимное расположение прямых: ND и AB; PK и BC; MN и AB; МР и AC; KN и AС; MD и BC СМОТРЕТЬ РЕШЕНИЕ
2 Через вершину А ромба ABCD проведена прямая a, параллельная диагонали BD, а через вершину С прямая b, не лежащая в плоскости ромба. Докажите, что прямые а и CD пересекаются; а и b скрещивающиеся прямые. СМОТРЕТЬ РЕШЕНИЕ
3 Прямая а параллельна стороне BC параллелограмма ABCD и не лежит в плоскости параллелограмма. Докажите, что а и CD скрещивающиеся прямые, и найдите угол между ними, если один из углов параллелограмма равен 50; 121 СМОТРЕТЬ РЕШЕНИЕ
1 Через точку М, не лежащую на прямой a, проведены две прямые, не имеющие общих точек с прямой a. Докажите, что по крайней мере одна из этих прямых и прямая а являются скрещивающимися прямыми. СМОТРЕТЬ РЕШЕНИЕ
2 Прямая с пересекает прямую а и не пересекает прямую b, параллельную прямой a. Докажите, что b и с скрещивающиеся прямые СМОТРЕТЬ РЕШЕНИЕ
3 На скрещивающихся прямых а и b отмечены соответственно точки M и N. Через прямую а и точку N проведена плоскость α, а через прямую b и точку М плоскость β. лежит ли прямая b в плоскости α? Пересекаются ли плоскости α и β? укажите прямую, на которой они пересекаются. СМОТРЕТЬ РЕШЕНИЕ
4 Может ли каждая из двух скрещивающихся прямых быть параллельна третьей прямой СМОТРЕТЬ РЕШЕНИЕ
1 Докажите, что если AB и CD скрещивающиеся прямые, то AD и BC также скрещивающиеся прямые. СМОТРЕТЬ РЕШЕНИЕ
2 Прямые OB и CD параллельные, а OA и СD скрещивающиеся прямые. Найдите угол между прямыми OA и CD, если АОВ = 40; АОВ = 135; АОВ = 90 СМОТРЕТЬ РЕШЕНИЕ
3 В пространственном четырехугольнике АВCD стороны AB и CD равны. Докажите, что прямые AB и CD образуют равные углы с прямой, проходящей через середины отрезков BC и АD. СМОТРЕТЬ РЕШЕНИЕ
Параллельность плоскостей 1 Плоскости α и β параллельны, прямая m лежит в плоскости α. Докажите, что прямая m параллельна плоскости β СМОТРЕТЬ РЕШЕНИЕ
2 Точка B не лежит в плоскости треугольника ADC, точки M, N и Р середины отрезков ВА, BC и BD соответственно. Докажите, что плоскости MNP и ADC параллельны. Найдите площадь треугольника MNP, если площадь треугольника ADC равна 48 cм2 СМОТРЕТЬ РЕШЕНИЕ
3 Параллельные отрезки A1А2, B1B2 и C1С2 заключены между параллельными плоскостями α и β. Определите вид четырехугольников A1B1B2A2, B1C1C2B2 и A1C1C2A2.Докажите, что ΔA1B1C1 = ΔА2В2С2. СМОТРЕТЬ РЕШЕНИЕ
1 Докажите, что α и β параллельны, если две пересекающиеся прямые m и n плоскости α параллельны плоскости β. СМОТРЕТЬ РЕШЕНИЕ
2 Плоскости α и β параллельны, А точка плоскости α. Докажите, что любая прямая, проходящая через точку A и параллельная плоскости β, лежит в плоскости α СМОТРЕТЬ РЕШЕНИЕ
3 Даны пересекающиеся прямые a и b и точка A, не лежащая в плоскости этих прямых. Докажите, что через точку A проходит плоскость, параллельная прямым а и b, и притом только одна СМОТРЕТЬ РЕШЕНИЕ
1 Две стороны треугольника параллельны плоскости α . Докажите, что и третья сторона параллельна плоскости α. СМОТРЕТЬ РЕШЕНИЕ
2 Две плоскости α и β параллельны плоскости γ. Докажите, что плоскости α и β параллельны. СМОТРЕТЬ РЕШЕНИЕ
Перпендикулярность прямой и плоскости 1 Прямая OA перпендикулярна к плоскости ОВС, и точка O является серединой отрезка AD. Докажите, что AB = DB; AB = AC, если OB = OC; OB = OC, если AB = AC. СМОТРЕТЬ РЕШЕНИЕ
2 Прямая а перпендикулярна к плоскости α и перпендикулярна к прямой b, не лежащей в этой плоскости. Докажите, что b параллельна α СМОТРЕТЬ РЕШЕНИЕ
3 Из точки М проведен перпендикуляр МВ к плоскости прямоугольника АВCD. Докажите, что треугольники AMD и MCD прямоугольные. СМОТРЕТЬ РЕШЕНИЕ
1 Точки A, М и О лежат на прямой, перпендикулярной к плоскости α, а точки О, B, С и D лежат в плоскости α. Какие из следующих углов являются прямыми: АОВ, МОС, DAM, DOA, BMO СМОТРЕТЬ РЕШЕНИЕ
2 Прямая CD перпендикулярна к плоскости правильного треугольника АВС. Через центр О этого треугольника проведена прямая ОК, параллельная прямой CD. Известно, что AB = 16√3 см, ОК = 12 см, CD = 16 см. Найдите расстояния от точек D и K до вершин А и В треугольника. СМОТРЕТЬ РЕШЕНИЕ
3 Докажите, что если одна их двух параллельных плоскостей перпендикулярна к прямой, то и другая плоскость перпендикулярна к этой прямой. СМОТРЕТЬ РЕШЕНИЕ
4 Прямая а пересекает плоскость α в точке М и не перпендикулярна к этой плоскости. Докажите, что в плоскости α через точку M проходит прямая, перпендикулярная к прямой a, и притом только одна СМОТРЕТЬ РЕШЕНИЕ
1 Через точку O пересечения диагоналей квадрата, сторона которого равна a, проведена прямая ОК, перпендикулярная к плоскости квадрата. Найдите расстояние от точки К до вершин квадрата, если ОК = b. СМОТРЕТЬ РЕШЕНИЕ
2 В треугольнике ABC дано: С = 90, AC = 6 см, BC = 8 см, СМ – медиана. Через вершину С проведена прямая СК, перпендикулярная к плоскости треугольника АВС, причем СК = 12 см. Найдите КМ. СМОТРЕТЬ РЕШЕНИЕ
3 В треугольнике ABC сумма углов А и В равна 90о. Прямая ВD перпендикулярна к плоскости АВС. Докажите, что CD перпендикулярна AC. СМОТРЕТЬ РЕШЕНИЕ
4 Прямая АК перпендикулярна к плоскости правильного треугольника АВС, а точка М середина стороны BC. Докажите, что MK перпендикулярно BC. СМОТРЕТЬ РЕШЕНИЕ
Перпендикулярность плоскостей 1 Неперпендикулярные плоскости α и β пересекаются по прямой MN. В плоскости β из точки А проведен перпендикуляр AB к прямой MN и из той же точки А проведен перпендикуляр AC к плоскости α. Докажите, что ABC линейный угол двугранного угла AMNC. СМОТРЕТЬ РЕШЕНИЕ
2 Гипотенуза прямоугольного равнобедренного треугольника лежит в плоскости α, а катет наклонен к этой плоскости под углом 30. Найдите угол между плоскостью α и плоскостью треугольника. СМОТРЕТЬ РЕШЕНИЕ
3 Докажите, что плоскость, перпендикулярная к прямой, по которой пересекаются две данные плоскости, перпендикулярна к каждой из этих плоскостей. СМОТРЕТЬ РЕШЕНИЕ
1 Двугранный угол равен φ. На одной грани этого угла лежит точка, удаленная на расстояние d от плоскости другой грани. Найдите расстояние от этой точки до ребра двугранного угла. СМОТРЕТЬ РЕШЕНИЕ
2 Катет AC прямоугольного треугольника ABC с прямым углом С лежит в плоскости α, а угол между плоскостью α и ABC равен 60. Найдите расстояние от точки В до плоскости α, если AC = 5 см, AB = 13 см. СМОТРЕТЬ РЕШЕНИЕ
3 Плоскости α и β взаимно перпендикулярны и пересекаются по прямой a. Из точки М проведены перпендикуляры МА и МВ к этим плоскостям. Прямая а пересекает плоскость АМВ в точке C. Докажите, что четырехугольник АСВМ является прямоугольником. Найдите расстояние от точки М до прямой a, если АМ = m, BM = n. СМОТРЕТЬ РЕШЕНИЕ
4 На ребре двугранного угла 120 взят отрезок длиной c, и из его концов проведены перпендикуляры к нему, лежащие в различных гранях данного двугранного угла и имеющие длины a и b. Найти длину отрезка прямой, соединяющего концы этих перпендикуляров. СМОТРЕТЬ РЕШЕНИЕ
1 Из вершины В треугольника АВС, сторона AC которого лежит в плоскости α, проведен к этой плоскости перпендикуляр BB1. Найдите расстояния от точки В до прямой AC и до плоскости α, если AB = 2 см, ВАС = 150 и двугранный угол ВАСВ1 равен 45 СМОТРЕТЬ РЕШЕНИЕ
2 Плоскости α и β взаимно перпендикулярны и пересекаются по прямой a. Из точки М проведены перпендикуляры МА и МВ к этим плоскостям. Прямая а пересекает плоскость АМВ в точке C. Докажите, что четырехугольник АСВМ является прямоугольником. Найдите расстояние от точки М до прямой a, если АМ = m, BM = n. СМОТРЕТЬ РЕШЕНИЕ
3 Общая сторона AB треугольников ABC и ABD равна 10 см. Плоскости этих треугольников взаимно перпендикулярны. Найдите CD, если треугольники равносторонние; прямоугольные равнобедренные с гипотенузой AB СМОТРЕТЬ РЕШЕНИЕ
Общее понятие параллелепипеда 1 Найдите диагональ прямоугольного параллелепипеда, если его измерения равны 1, 1, 2; 8, 9,12; √39, 7, 9 СМОТРЕТЬ РЕШЕНИЕ
2 Ребро куба равно a. Найдите расстояние между скрещивающимися прямыми, содержащими диагональ куба и ребро куба; диагональ куба и диагональ грани куба СМОТРЕТЬ РЕШЕНИЕ
3 Найдите измерения прямоугольного параллелепипеда АВСDA1B1C1D1, если АС1 = 12 см и диагональ BD1 cоставляет с плоскостью грани АА1D1D угол в 30, а с ребром DD1 угол в 45 СМОТРЕТЬ РЕШЕНИЕ
1 Найдите расстояние от вершины куба до плоскости любой грани, в которой не лежит эта вершина, если диагональ грани куба равна m; диагональ куба равна d. СМОТРЕТЬ РЕШЕНИЕ
2 Дан куб ABCDA1B1C1D1. Докажите, что плоскости ABC1 и A1B1D перпендикулярны. СМОТРЕТЬ РЕШЕНИЕ
3 В прямоугольном параллелепипеде ABCDA1B1C1D1 дано: D1B = d, AC = m, AB = n. Найдите расстояние между прямой A1C1 и плоскостью АВС; плоскостями АВB1 и DCC1; прямой DD1 и плоскостью АСC1 СМОТРЕТЬ РЕШЕНИЕ
4 В прямоугольном параллелепипеде основания равны 12 см и 5 см. Диагональ параллелепипеда образует с плоскостью основания угол в 45. Найдите боковое ребро параллелепипеда. СМОТРЕТЬ РЕШЕНИЕ
1 Дан куб ABCDA1B1C1D1. Найдите следующие двугранные углы ABB1C; ADD1B; A1BB1K, где К середина ребра A1D1 СМОТРЕТЬ РЕШЕНИЕ
2 Найдите тангенс угла между диагональю куба и плоскостью одной из его граней. СМОТРЕТЬ РЕШЕНИЕ
3 Через два противолежащих ребра куба проведено сечение, площадь которого равна 64√2 м2. Найдите ребро куба и его диагональ. СМОТРЕТЬ РЕШЕНИЕ
