Решебник для учеников старших классов и абитуриентов
Решебник к задачнику для сдающих выпускные и вступительные экзамены по курсу школьной геометрии
Планиметрия
Треугольник: Основы Неравенство треугольника Прямоугольный треугольник Площадь треугольника. Отношение площадей треугольников Подобие треугольников и его применение Основные соотношения в треугольнике Теорема Пифагора. Пифагоров треугольник, египетский треугольник
Параллельные прямые
Окружность: Основы Вписанная и описанная окружность Мера окружности Многоугольники: Теорема о сумме внутренних углов выпуклого многоугольника Четырехугольники
Векторы: Операции над векторами Координаты вектора Скалярное произведение векторов
Осевая и центральная симметрия Движение
Стереометрия
Параллельность прямых и плоскостей Скрещивающиеся прямые Параллельность плоскостей Перпендикулярность прямой и плоскости Перпендикулярность плоскостей
Многогранники: Общее понятие параллелепипеда Объем и площадь многогранников
Векторы в пространстве:
Операции над векторами Скалярное произведение в пространстве Компланарные векторы Координаты вектора
Движения
Цилиндр, конус и шар: Площадь и объем Сфера и шар
Дополнительные задачи Интересные задачи Задачи с олимпиады Задачи ученых
Координаты вектора 1 Точка М лежит на диагонали AC параллелограмма ABCD, причем AM:MC = 4:1. Разложите вектор АМ по векторам a = AB и b = AD. СМОТРЕТЬ РЕШЕНИЕ
2 Выпишите координаты векторов a = 2i + 3j, b =i/2 - 2j, c = 8i, d = i – j, e = -2j, f = -i. СМОТРЕТЬ РЕШЕНИЕ
3 Найдите координаты вершины D параллелограмма ABCD, если А (0; 0), В (5; 0), C (12; -3) СМОТРЕТЬ РЕШЕНИЕ
4 Окружность задана уравнением (x + 5)^2 + (y –1)^2 = 16. Не пользуясь чертежом, укажите, какие из точек А(-2; 4), В(-5; -3), C(-7; -2) и D(1; 5) лежат внутри круга, ограниченного данной окружностью; на окружности; вне круга, ограниченного данной окружностью СМОТРЕТЬ РЕШЕНИЕ
1 Векторы а и b не коллинеарны. Найдите числа x и y, удовлетворяющие равенству 3а – xb = ya + b; 4а – xa + 5b + yb = 0; xa + 3b – yb = 0; a + b – 3y a + xb = 0 СМОТРЕТЬ РЕШЕНИЕ
2 Запишите разложение по координатным векторам i и j вектора x{-3; 1/5}; y {-2; -3}; z {-1; 0}; г) u {0; 3}; v {0; 1} СМОТРЕТЬ РЕШЕНИЕ
3 Найдите координаты вектора a + b, если a {3; 2}, b {2; 5}; а {3; -4}, b {1; 5}; a {-4; -2}, b {5; 3}; a {2; 7}, b {-3; -7} СМОТРЕТЬ РЕШЕНИЕ
4 Даны векторы a {2; 4}, b {-2; 0}, c {0; 0}, d {-2; -3}, e {2; -3}, f {0; 5}. Найдите координаты векторов, противоположных данным. СМОТРЕТЬ РЕШЕНИЕ
5 Найдите координаты вектора AB, зная координаты его начала и конца А (2; 7), В (-2; 7); А (-5; 1), В (-5; 27); А (-3; 0), В (0; 4); А (0; 3), В (-4; 0) СМОТРЕТЬ РЕШЕНИЕ
6 Докажите, что треугольник ABC равнобедренный и найдите его площадь, если вершины треугольника имеют координаты А (0; 1), В (1; -4), C (5; 2); А (-4; 1), В (-2; 4), C (0; 1) СМОТРЕТЬ РЕШЕНИЕ
7 Какие их точек А (3; -4), В (1; 0), C (0; 5), D (0; 0) и E (0; 1) лежат на окружности, заданной уравнением x^2 + y^2 = 25; (x – 1)^2 + (y + 3)^2 = 9; в) (x - 1/2)^2 + y^2 = 1/4 ? СМОТРЕТЬ РЕШЕНИЕ
8 Напишите уравнения окружностей с центром в начале координат и радиусами r1 = 3; r2 = √2, r3 = 5/2 СМОТРЕТЬ РЕШЕНИЕ
9 Напишите уравнение окружности с диаметром MN, если М (-3; 5), N (7; -3); М (2; -1), N (4; 3) СМОТРЕТЬ РЕШЕНИЕ
1 Найдите числа x и y, удовлетворяющие условию xi + yj = 5i – 2j; –3i + yj = xi + 7j; xi + yj = -4i; xi + yj = 0 СМОТРЕТЬ РЕШЕНИЕ
2 Найдите координаты векторов 2а, 3а, -а, -3а, если а {3; 2} СМОТРЕТЬ РЕШЕНИЕ
3 Даны векторы a {3; 7}, b {-2; 1}, c {6; 14}, d {2; -1}, e {2; 4}. Укажите среди этих векторов попарно коллинеарные векторы. СМОТРЕТЬ РЕШЕНИЕ
4 Найдите периметр треугольника MNP, если М (4; 0), N (12; -2), P(5; -9). СМОТРЕТЬ РЕШЕНИЕ
5 Даны окружность x^2 + y^2 = 25 и две точки А (3; 4) и В (4; -3). Докажите, что AB хорда данной окружности. СМОТРЕТЬ РЕШЕНИЕ
6 Напишите уравнение окружности, проходящей через точки А (-3; 0) и В (0; 9), если известно, что центр окружности лежит на оси ординат СМОТРЕТЬ РЕШЕНИЕ
Скалярное произведение векторов 1 Вычислите скалярное произведение векторов а и b, если |a| = 2, |b| = 3, а угол между ними равен 45; 90; 135 СМОТРЕТЬ РЕШЕНИЕ
2 Докажите, что ненулевые векторы а{x; y} и b{-y; x} перпендикулярны. СМОТРЕТЬ РЕШЕНИЕ
1 В равностороннем треугольнике ABC со стороной а проведена высота BD. Вычислите скалярное произведение векторов АВ·АС; АС·СВ; АС·BD; АС·АС. СМОТРЕТЬ РЕШЕНИЕ
2 Докажите, что векторы i + j и i – j перпендикулярны, если i и j координатные векторы СМОТРЕТЬ РЕШЕНИЕ
3 Известно, что a c = b c = 60o, |a| = 1, |b| = |c| = 2. Вычислите (a + b)·c. СМОТРЕТЬ РЕШЕНИЕ
4 Вычислите скалярное произведение векторов a и b, если a = 3p – 2q и b = p + 4q, где p и q единичные взаимно перпендикулярные векторы. СМОТРЕТЬ РЕШЕНИЕ
1 Найдите косинусы углов треугольника в вершинами А (2;8), В (-1; 5), C (3; 1) СМОТРЕТЬ РЕШЕНИЕ
2 Вычислите скалярное произведение векторов p = a – b – c и q = a – b + c, если |a| = 5, |b| = 2, |c| = 4 и a ⊥ b. СМОТРЕТЬ РЕШЕНИЕ
Осевая и центральная симметрия 1 Даны две точки А и B, симметричные относительно некоторой прямой, и точка М. Постройте точку, симметричную точке М относительно той же прямой. СМОТРЕТЬ РЕШЕНИЕ
1 Докажите, что прямая, проходящая через середины противоположных сторон прямоугольника, является его осью симметрии. СМОТРЕТЬ РЕШЕНИЕ
2 Докажите, что прямая, содержащая биссектрису равнобедренного треугольника, проведенную к основанию, является осью симметрии треугольника. СМОТРЕТЬ РЕШЕНИЕ
3 Какие из следующих букв имеют центр симметрии: A, O, M, X, K СМОТРЕТЬ РЕШЕНИЕ
1 Даны точки A, В и М. Постройте точку, симметричную точке М относительно середины отрезка AB СМОТРЕТЬ РЕШЕНИЕ
2 Имеют ли центр симметрии отрезок; луч; пара пересекающихся прямых; квадрат СМОТРЕТЬ РЕШЕНИЕ
Движение на плоскости 1 Докажите, что при движении параллельные прямые отображаются на параллельные прямые СМОТРЕТЬ РЕШЕНИЕ
2 Даны две прямые а и b. Постройте прямую, на которую отображается прямая b при осевой симметрии с осью a. СМОТРЕТЬ РЕШЕНИЕ
3 Даны равнобедренный треугольник ABC с основанием AC и точка D на прямой AC, такая, что точка C лежит на отрезке AD. Постройте отрезок B1D, который получается из отрезка BC параллельным переносом на вектор CD. Докажите, что четырехугольник ABB1D равнобедренная трапеция СМОТРЕТЬ РЕШЕНИЕ
1 Докажите, что при движении параллелограмм отображается на параллелограмм; трапеция на трапецию; ромб на ромб; прямоугольник отображается на прямоугольник, а квадрат на квадрат СМОТРЕТЬ РЕШЕНИЕ
2 Докажите, что два параллелограмма равны, если смежные стороны и угол между ними одного параллелограмма соответственно равны смежным сторонам и углу между ними другого параллелограмма. СМОТРЕТЬ РЕШЕНИЕ
3 Даны треугольник, трапеция и окружность. Постройте фигуры, которые получаются из этих фигур параллельным переносом на данный вектор a. СМОТРЕТЬ РЕШЕНИЕ
4 Докажите, что при повороте квадрата вокруг точки пересечения его диагоналей на угол 90 квадрат отображается на себя СМОТРЕТЬ РЕШЕНИЕ
1 Точка D является точкой пересечения биссектрис равностороннего треугольника АВС. Докажите, что при повороте вокруг точки D на угол 120 треугольник ABC отображается на себя. СМОТРЕТЬ РЕШЕНИЕ
Стереометрия
Параллельность прямых и плоскостей 1 Докажите, что если данная прямая параллельна прямой, по которой пересекаются две плоскости, и не лежит в этих плоскостях, то она параллельна этим плоскостям. СМОТРЕТЬ РЕШЕНИЕ
2 Точка C лежит на отрезке AB, причем АВ:ВС = 4:3. Отрезок CD, равный 12 см, параллелен плоскости α, проходящей через точку B. Докажите, что прямая AD пересекает плоскость α в некоторой точке E, и найдите отрезок ВЕ. СМОТРЕТЬ РЕШЕНИЕ
3 В трапеции ABСD основание BC равно 12 см. Точка М не лежит в плоскости трапеции, а точка К середина отрезка ВМ. Докажите, что плоскость ADK пересекает отрезок МС в некоторой точке Н, и найдите отрезок КН СМОТРЕТЬ РЕШЕНИЕ
1 Точка C лежит на отрезке AB. Через точку A проведена плоскость, а через точки В и С параллельные прямые, пересекающие эту плоскость соответственно в точках B1 и C1. Найдите длину отрезка СC1, если: точка C середина отрезка AB и ВB1 = 7 см; АС:СB = 3:2 и BB1 = 20 см. СМОТРЕТЬ РЕШЕНИЕ
2 Средняя линия трапеции лежит в плоскости α. Пересекают ли прямые, содержащие ее основания, плоскость α СМОТРЕТЬ РЕШЕНИЕ
3 Треугольники ABC и ABD не лежат в одной плоскости. Докажите, что любая прямая, параллельная отрезку , пересекает плоскости данных треугольников СМОТРЕТЬ РЕШЕНИЕ
4 Сторона AC треугольника ABC параллельна плоскости α, а стороны AB и BC пересекаются с этой плоскостью в точках M и N. Докажите, что треугольники ABC и MBN подобны. СМОТРЕТЬ РЕШЕНИЕ
5 На сторонах AB и AC треугольника ABC взяты соответственно точки D и E так, что DE = 5 см и BD/DA = 2/3 . Плоскость α проходит через точки В и С и параллельна отрезку DE. Найдите длину отрезка BC СМОТРЕТЬ РЕШЕНИЕ
6 Плоскость α параллельна стороне BC треугольника ABC и проходит через середину стороны AB. Докажите, что плоскость α проходит также через середину стороны AC СМОТРЕТЬ РЕШЕНИЕ
1 Стороны AB и BC параллелограмма ABCD пересекают плоскость α. Докажите, что прямые AD и DC также пересекают плоскость α СМОТРЕТЬ РЕШЕНИЕ
2 Точка М не лежит в плоскости прямоугольника ABCD. Докажите, что прямая CD параллельна плоскости ABM. СМОТРЕТЬ РЕШЕНИЕ
3 Через какую из двух параллельных прямых a и b и точку М, не лежащую в плоскости этих прямых, проведена плоскость. Докажите, что эти плоскости пересекаются по прямой, параллельной прямым a и b. СМОТРЕТЬ РЕШЕНИЕ
