Решебник для учеников старших классов и абитуриентов
Решебник к задачнику для сдающих выпускные и вступительные экзамены по курсу школьной геометрии
Планиметрия
Треугольник: Основы Неравенство треугольника Прямоугольный треугольник Площадь треугольника. Отношение площадей треугольников Подобие треугольников и его применение Основные соотношения в треугольнике Теорема Пифагора. Пифагоров треугольник, египетский треугольник
Параллельные прямые
Окружность: Основы Вписанная и описанная окружность Мера окружности Многоугольники: Теорема о сумме внутренних углов выпуклого многоугольника Четырехугольники
Векторы: Операции над векторами Координаты вектора Скалярное произведение векторов
Осевая и центральная симметрия Движение
Стереометрия
Параллельность прямых и плоскостей Скрещивающиеся прямые Параллельность плоскостей Перпендикулярность прямой и плоскости Перпендикулярность плоскостей
Многогранники: Общее понятие параллелепипеда Объем и площадь многогранников
Векторы в пространстве:
Операции над векторами Скалярное произведение в пространстве Компланарные векторы Координаты вектора
Движения
Цилиндр, конус и шар: Площадь и объем Сфера и шар
Дополнительные задачи Интересные задачи Задачи с олимпиады Задачи ученых
Объем и площадь многогранников 1 Диагональ правильной четырехугольной призмы образует с плоскостью боковой грани угол в 30. Найдите угол между диагональю и плоскостью основания. СМОТРЕТЬ РЕШЕНИЕ
2 Стороны основания прямого параллелепипеда равны 8 см и 15 см и образуют угол в 60. Меньшая из площадей диагональных сечений равна 130 см2. Найдите площадь поверхности параллелепипеда СМОТРЕТЬ РЕШЕНИЕ
3 Основанием пирамиды является параллелограмм, стороны которого равны 20 см и 36 см, а площадь равна 360 см2. Высота пирамиды проходит через точку пересечения диагоналей основания и равна 12 см. Найдите площадь боковой поверхности пирамиды СМОТРЕТЬ РЕШЕНИЕ
4 Основанием прямой призмы является параллелограмм. Через сторону основания, равную a, и противолежащую ей сторону другого основания проведено сечение, составляющее угол β с плоскостью основания. Площадь сечения равна Q. Найдите объем данной призмы СМОТРЕТЬ РЕШЕНИЕ
5 Найдите объем наклонной призмы, у которой основанием является треугольник со сторонами 10 см, 10 см и 12 см, а боковое ребро, равное 8 см, составляет с плоскостью основания угол в 60 СМОТРЕТЬ РЕШЕНИЕ
6 Боковое ребро правильной четырехугольной пирамиды равно m и составляет с плоскостью основания угол φ. Найдите объем пирамиды. СМОТРЕТЬ РЕШЕНИЕ
7 Стороны оснований правильной усеченной треугольной пирамиды равны а и 0,5a, апофема боковой грани равна a. Найдите объем усеченной пирамиды. СМОТРЕТЬ РЕШЕНИЕ
1 Сторона основания правильной шестиугольной пирамиды равна a. Вычислить объем пирамиды, если известно, что ее боковая поверхность в 10 раз больше, чем площадь основания. СМОТРЕТЬ РЕШЕНИЕ
2 Объем правильной восьмиугольной призмы равен 8 м3, а ее высота равна 2,2 м. Найти боковую поверхность призмы. СМОТРЕТЬ РЕШЕНИЕ
3 Основаниями усеченной пирамиды служат два правильных восьмиугольника. Сторона нижнего основания пирамиды равна 0,4 м, а верхнего 0,3 м; высота усеченной пирамиды равна 0,5 м. Усеченная пирамида достроена до полной. Определить объем полной пирамиды. СМОТРЕТЬ РЕШЕНИЕ
4 В правильной треугольной призме через сторону нижнего основания и противолежащую ей вершину верхнего основания проведено сечение, составляющее угол в 60 с плоскостью основания. Найдите объем призмы, если сторона основания равна a СМОТРЕТЬ РЕШЕНИЕ
5 Основанием наклонной призмы ABCA1B1C1 является прямоугольный треугольник ABC с катетами AB = 7 см и AC = 24 см. Вершина А1 равноудалена от вершин A, В и C. Найдите объем призмы, если ребро AA1 составляет с плоскостью основания угол в 45 СМОТРЕТЬ РЕШЕНИЕ
6 Основанием пирамиды служит равнобедренный треугольник ABC в котором AB = BC = 13 см, AC = 10 см. Каждое боковое ребро пирамиды образует с ее высотой угол 30. Вычислите объем пирамиды. СМОТРЕТЬ РЕШЕНИЕ
7 Основанием пирамиды является прямоугольный треугольник, катеты которого равны 24 дм и 18 дм. Каждое боковое ребро равно 25 дм. Пирамида пересечена плоскостью, параллельной плоскости основания и делящей боковое ребро пополам. Найдите объем полученной усеченной пирамиды. СМОТРЕТЬ РЕШЕНИЕ
1 Найти расстояние между серединами двух скрещивающихся ребер куба, полная поверхность которого равна 36 см2 СМОТРЕТЬ РЕШЕНИЕ
2 Основанием пирамиды служит параллелограмм ABCD, имеющий площадь m2 и такой, что BD перпендикулярно AD; двугранные углы при ребрах AD и BC равны 45, а при ребрах AB и CD равны 60. Найти боковую поверхность и объем пирамиды. СМОТРЕТЬ РЕШЕНИЕ
3 Основанием параллелепипеда служит ромб со стороной а и острым углом 30. Диагональ одной боковой грани перпендикулярна плоскости основания, а боковое ребро составляет с плоскостью основания угол 60. Найти полную поверхность и объем параллелепипеда СМОТРЕТЬ РЕШЕНИЕ
4 Куб, ребро которого равно a, срезан по углам плоскостями так, что от каждой грани остался правильный восьмиугольник. Определить объем полученного многогранника СМОТРЕТЬ РЕШЕНИЕ
5 В правильной усеченной четырехугольной пирамиде стороны оснований равны a и b, а боковая поверхность равна половине полной поверхности. Найдите объем пирамиды. СМОТРЕТЬ РЕШЕНИЕ
Операции над векторами в пространстве 1 Дан тетраэдр ABCD. Докажите, что AB + BD = AC + CD; AB + BC = DC + AD; DC + BD = AC + BA СМОТРЕТЬ РЕШЕНИЕ
2 Точка P вершина правильной шестиугольной пирамиды. Докажите, что сумма всех векторов с началом в точке Р, образованных боковыми ребрами пирамиды, равна сумме всех векторов с началом в точке P, образованных апофемами. СМОТРЕТЬ РЕШЕНИЕ
3 Диагонали куба ABCDA1B1C1D1 пересекаются в точке О. Найдите число k такое, что AB = k∙CD; AC1 = k∙АО; OB1 = k∙B1D СМОТРЕТЬ РЕШЕНИЕ
1 Измерения прямоугольного параллелепипеда ABCDA1B1C1D1 имеют длины: AD = 8 см, AB = 9 см и АA1 = 12 см. Найдите длины векторов CC1, СВ, CD; DC1, DB, DB1 СМОТРЕТЬ РЕШЕНИЕ
2 Пусть ABCD параллелограмм, а О произвольная точка пространства. Докажите, что OB – OA = OC – OD; OB – OC = DA СМОТРЕТЬ РЕШЕНИЕ
3 Даны точки A, B, С и D. Представьте вектор AB в виде алгебраической суммы следующих векторов AB, DC, BD; DA, DC, CB; DA, CD, BC. СМОТРЕТЬ РЕШЕНИЕ
4 Упростите 2(m + n) - 3(4m - n) + m; m – 3(n – 2m + p) + 5(p – 4m) СМОТРЕТЬ РЕШЕНИЕ
1 В тетраэдре ABCD точки M, N и K середины ребер AC, BC и СD соответственно, AB = 3 см, BC = 4 см, BD = 5 см. Найдите длины векторов AB, BC, BD, NM, BN, NK; CB, BA, DB, NC, NK СМОТРЕТЬ РЕШЕНИЕ
3 Упростите выражение OP – EP + KD – KA; AD + MP + EK – EP – MD; AC – BC – PM – AP + BM СМОТРЕТЬ РЕШЕНИЕ
4 Докажите, что в параллелепипеде ABCDA1B1C1D1 AC1 + B1D = 2BC. СМОТРЕТЬ РЕШЕНИЕ
Скалярное произведение в пространстве 1 Найти угол между двумя прямыми пересекающимися или скрещивающимися, если известны Координаты направляющих векторов этих прямых. СМОТРЕТЬ РЕШЕНИЕ
2 Найти угол между прямой и плоскостью, если известны координаты направляющего вектора прямой и координаты ненулевого вектора, перпендикулярного к плоскости. СМОТРЕТЬ РЕШЕНИЕ
1 Дан куб ABCDA1B1C1D1. Найдите угол между векторами B1B и B1C; A1C1 и A1B; BC и AC; B1С и AD1; АA1 и C1С СМОТРЕТЬ РЕШЕНИЕ
2 Даны векторы a = 3i – 5j + k и b = j – 5k. Вычислите ab; ai; bj; (a + b)k; (a – 2b) (k + i – 2j) СМОТРЕТЬ РЕШЕНИЕ
3 Вычислите углы между вектором а {2; 1; 2} и координатными векторами. СМОТРЕТЬ РЕШЕНИЕ
1 Угол между векторами AB и CD равен φ. Найдите углы между векторами BA и DC, BA и CD, AB и DC. СМОТРЕТЬ РЕШЕНИЕ
3 Дан куб MNPQM1N1P1Q1. Докажите, что прямая PM1 перпендикулярна к плоскостям MN1Q1 и QNP1 СМОТРЕТЬ РЕШЕНИЕ
4 Угол между диагональю AC1 прямоугольного параллелепипеда ABCDA1B1C1D1 и каждым из ребер AB и AD равен 60. Найдите угол CAC1. СМОТРЕТЬ РЕШЕНИЕ
1 Ребро куба ABCDA1B1C1D1 равно a, точка O1 центр грани A1B1C1D1. Вычислите скалярное произведение векторов AD и B1C1; D1B и AС; A1O1 и A1C1; BO1 и C1B1 СМОТРЕТЬ РЕШЕНИЕ
2 Даны точки А (1; 3; 0), В (2; 3; -1) и C (1; 2; -1). Вычислите угол между векторами CA и СВ. СМОТРЕТЬ РЕШЕНИЕ
3 В прямоугольном параллелепипеде ABCDA1B1C1D1 AB = 1, BC = 2, BB1 = 3. Вычислите косинус угла между прямыми AC и D1B; AB1 и BC1; A1D и AC1 СМОТРЕТЬ РЕШЕНИЕ
Компланарные векторы в пространстве 1 Дан параллелепипед ABCDA1B1C1D1. Какие из следующих трех векторов компланарны AA1, CC1, BB1; AB, AD, AA1; B1B, AC, DD1; AD, CC1, A1B1 СМОТРЕТЬ РЕШЕНИЕ
2 В параллелепипеде ABCDA1B1C1D1 точка К середина ребра CC1. Разложите вектор AK по векторам AB, AD, AA1; DA1 по векторам AB1, BC1 и CD1. СМОТРЕТЬ РЕШЕНИЕ
1 Отрезок EF соединяет середины ребер AC и BD тетраэдра ABCD. Докажите, что 2FE = BA + DC. Компланарны ли векторы FE, BA и DС СМОТРЕТЬ РЕШЕНИЕ
2 Числа k и l не равны друг другу. Докажите, что если векторы a + kb и a + lb не коллинеарны, то векторы a и b не коллинеарны; векторы а + k1b и a + l1b не коллинеарны при любых неравных числах k1 и l1. СМОТРЕТЬ РЕШЕНИЕ
3 На трех некомпланарных векторах p = AB, q = AD, r = AA1 построен параллелепипед ABCDA1B1C1D1. Разложите по векторам p, q и r векторы, образованные диагоналями этого параллелепипеда. СМОТРЕТЬ РЕШЕНИЕ
1 Даны параллелограммы ABCD и A1B1C1D1. Докажите, что векторы BB1 CC1 DD1 компланарны. СМОТРЕТЬ РЕШЕНИЕ
2 Точки A1, B1 и C1 середины сторон BC, AC и AB треугольника ABC, точка O произвольная точка пространства. Докажите, что ОA1 + ОB1 + ОC1 = OA + OB + OC. СМОТРЕТЬ РЕШЕНИЕ
3 В параллелепипеде ABCDA1B1C1D1 диагонали грани DCC1D1 пересекаются в точке М. Разложите вектор AM по векторам AB, AD и AA1. СМОТРЕТЬ РЕШЕНИЕ
Координаты вектора в пространстве 1 Даны координаты четырех вершин куба ABCDA1B1C1D1: А(0; 0; 0), B(0; 0; 1); D(0; 1; 0) и A1(1; 0; 0). Найдите координаты остальных вершин куба. СМОТРЕТЬ РЕШЕНИЕ
2 Найдите длину вектора AB, если А(-1; 0; 2), В(1; -2; 3); А(-35; -17; 20), В(-34; -5; 8) СМОТРЕТЬ РЕШЕНИЕ
1 Даны векторы а{5; -1; 1}, b{-2; 1; 0}, c{0; 0,2; 0} и d{-1/3; 2 2/5; -1/7}. Найдите координаты векторов a – b; b – a;d – a; a – b + c; a – b – c; 2а; –6с; 0,2b. СМОТРЕТЬ РЕШЕНИЕ
2 Даны точки А(2; -3; 0), В(7; -12; 18) и C(-8; 0; 5). Запишите координаты векторов OA, OB и OC, если точка O начало координат. СМОТРЕТЬ РЕШЕНИЕ
3 Найдите длины векторов а {5; -1; 7}, b{ 2√3; -6; 1}, c = i + j + k, d = -2k, m = i – 2j СМОТРЕТЬ РЕШЕНИЕ
1 Даны векторы а{-1; 2; 0}, b{0; -5; -2} и с {2; 1; -3}. Найдите координаты векторов p = 3b – 2a + c и q = 3c – 2b + a. СМОТРЕТЬ РЕШЕНИЕ
2 Даны векторы OA {3; 2; 1}; OB {1; -3; 5} и OC {-1/3; 0,75; -2 3/4}. Запишите координаты точек A, В и C, если точка O начало координат. СМОТРЕТЬ РЕШЕНИЕ