Решение задач » Решебники онлайн » Решебники по геометрии онлайн » Решебник для учеников старших классов и абитуриентов (Решебник по геометрии для старшеклассников и поступающих)
Решебник для учеников старших классов и абитуриентов
Решебник к задачнику для сдающих выпускные и вступительные экзамены по курсу школьной геометрии

Подобие треугольников
1 Докажите, что два равносторонних треугольника подобны.
СМОТРЕТЬ РЕШЕНИЕ

2 В прямоугольном треугольнике один из катетов равен b, а противоположный угол равен β. Выразите другой катет, противолежащий ему угол и гипотенузу через b и β. Найдите их значения, если b = 10 см, β = 50
СМОТРЕТЬ РЕШЕНИЕ

1 Отрезок AD является биссектрисой треугольника ABC. Найдите BD и BC, если AB = 14 см, BC = 20 см, AC = 21 см.
СМОТРЕТЬ РЕШЕНИЕ

2 Докажите, что отношение сходственных сторон подобных треугольников равно отношению высот, проведенных к этим сторонам.
СМОТРЕТЬ РЕШЕНИЕ

3 На одной из сторон данного угла А отложены отрезки AB = 5 см и AC = 16 см. На другой стороне этого же угла отложены отрезки AD = 8 см и AF = 10 см. Подобны ли треугольники ACD и AFB
СМОТРЕТЬ РЕШЕНИЕ

4 В прямоугольном треугольнике один из катетов равен b, а прилежащий к нему угол равен α. Выразите второй катет, прилежащий к нему острый угол и гипотенузу через b и α. Найдите их значения, если b = 12 см, α = 42
СМОТРЕТЬ РЕШЕНИЕ

5 На стороне BC треугольника ABC взята точка D так, что BD/AB = DC/AC. Докажите, что AD биссектриса треугольника ABC
СМОТРЕТЬ РЕШЕНИЕ

1 Площади двух подобных треугольников равны 75 и 300 м2. Одна из сторон второго треугольника равна 9 м. Найдите сходственную ей сторону первого треугольника.
СМОТРЕТЬ РЕШЕНИЕ

2 Через точку M, взятую на медиане AD треугольника ABC, и вершину B проведена прямая, пересекающая сторону AC в точке K. Найдите отношение AK/KC, если M середина отрезка AD; AM/MD = 1/2
СМОТРЕТЬ РЕШЕНИЕ

3 В треугольнике ABC проведена прямая DE, параллельная основанию AC. Площадь треугольника ABC равна 8 кв. ед., а площадь треугольника DEC равна 2 кв. ед. Найти отношение длины отрезка DE к длине основания треугольника ABC
СМОТРЕТЬ РЕШЕНИЕ
Основные соотношения в треугольнике
1 Из точки М биссектрисы неразвернутого угла О проведены перпендикуляры МА и МВ к сторонам этого угла. Докажите, что AB перпендикулярен ОМ
СМОТРЕТЬ РЕШЕНИЕ

2 Серединный перпендикуляр к стороне BC треугольника ABC пересекает сторону AC в точке D. Найдите AD и CD, если BD = 5 см, AC = 8,5 см; AC, если BD = 11,4 см, AD = 3,2 см.
СМОТРЕТЬ РЕШЕНИЕ

3 В треугольнике ABC AC = 12 см, A= 75, C= 60. Найдите AB и S(ABC)
СМОТРЕТЬ РЕШЕНИЕ

1 Биссектрисы АA1 и ВB1 треугольника ABC пересекаются в точке М. Найдите углы АСМ и ВСМ, если AМВ= 136, АМВ = 111
СМОТРЕТЬ РЕШЕНИЕ

2 Высоты АA1 и ВB1 равнобедренного треугольника АВС, проведенные к боковым сторонам, пересекаются в точке М. Докажите, что прямая МС серединный перпендикуляр к отрезку AB
СМОТРЕТЬ РЕШЕНИЕ

3 Площадь треугольника ABC равна 60 см2. Найдите сторону AB, если AC = 15 см, А = 30
СМОТРЕТЬ РЕШЕНИЕ

4 Найдите биссектрисы треугольника, если одна из его сторон равна a, а прилежащие к этой стороне углы равны α и β.
СМОТРЕТЬ РЕШЕНИЕ

5 Выясните, является ли треугольник остроугольным, прямоугольным или тупоугольным, если его стороны равны 5, 4 и 4; 17, 8 и 15; 9, 5 и 6.
СМОТРЕТЬ РЕШЕНИЕ

1 Серединные перпендикуляры к сторонам AB и AC треугольника ABC пересекаются в точке D стороны BC. Докажите, что точка D середина стороны BC; угол А = В + C.
СМОТРЕТЬ РЕШЕНИЕ

2 Смежные стороны параллелограмма равны а и b, а один из его углов равен α. Найдите диагонали параллелограмма и угол между ними.
СМОТРЕТЬ РЕШЕНИЕ

3 Найдите площадь треугольника ABC, если: AB = 6√8 см, AC = 4 см, А = 60
СМОТРЕТЬ РЕШЕНИЕ

4 Определить площадь треугольника, если две его стороны равны 35 и 14 см, а биссектриса угла между ними содержит 12 см.
СМОТРЕТЬ РЕШЕНИЕ
Теорема Пифагора. Пифагоров треугольник, египетский треугольник
1 Найдите катет прямоугольного треугольника, лежащего против угла 60, если гипотенуза равна c.
СМОТРЕТЬ РЕШЕНИЕ

2 Боковая сторона равнобедренного треугольника равна 17 см, а основание равно 16 см. Найдите высоту, проведенную к основанию.
СМОТРЕТЬ РЕШЕНИЕ

1 В прямоугольном треугольнике а и b – катеты, с – гипотенуза. Найдите b, если a = 12, c = 13; a = 12, c = 2b; а = 2√3 , с = 2d.
СМОТРЕТЬ РЕШЕНИЕ

2 Основание D высоты СD треугольника ABC лежит на стороне AB, причем AD = BC. Найдите AC, если AB = 3, а CD = √3.
СМОТРЕТЬ РЕШЕНИЕ

3 Выясните, является ли треугольник прямоугольным, если его стороны выражаются числами 6, 8, 10; 5, 6, 7; 9, 12, 15.
СМОТРЕТЬ РЕШЕНИЕ

4 Основание равнобедренного треугольника относится к боковой стороне как 4:3, а высота, проведенная к основанию, равна 30 см. Найдите отрезки, на которые эту высоту делит биссектриса угла при основании.
СМОТРЕТЬ РЕШЕНИЕ

1 Докажите, что площадь равностороннего треугольника вычисляется по формуле S = a2√3/4, где а – сторона треугольника. Найдите площадь равностороннего треугольника, если его сторона равна 5 см; 2√3 дм.
СМОТРЕТЬ РЕШЕНИЕ

2 Длины двух сторон остроугольного треугольника равны √13 и √10 см. Найти длину третьей стороны, зная, что эта сторона равна проведенной к ней высоте.
СМОТРЕТЬ РЕШЕНИЕ

3 Высоты треугольника равны 12, 15 и 20 см. Доказать, что треугольник прямоугольный.
СМОТРЕТЬ РЕШЕНИЕ

4 В прямоугольном треугольнике расстояние от середины гипотенузы до одного из катетов равно 5 см, а расстояние от середины этого катета до гипотенузы равно 4 см. Вычислить площадь треугольника.
СМОТРЕТЬ РЕШЕНИЕ
Параллельные прямые 

1 Отрезки AB и СD пересекаются в их общей середине. Докажите, что прямые AC и BD параллельны.
СМОТРЕТЬ РЕШЕНИЕ

2 Прямые а и b пересекаются. Можно ли провести такую прямую, которая пересекает прямую a и параллельна прямой b
СМОТРЕТЬ РЕШЕНИЕ

1 Отрезок ВК биссектриса треугольника АВС. Через точку К проведена прямая, пересекающая сторону BC в точке М так, что ВМ = МК. Докажите, что KM параллельна AB.
СМОТРЕТЬ РЕШЕНИЕ

2 В треугольнике ABC угол А равен 40, а угол ВСЕ, смежный с углом АСВ, равен 80. Докажите, что биссектриса угла ВСЕ параллельна прямой AB.
СМОТРЕТЬ РЕШЕНИЕ

3 На прямые a, b и с пересечены прямой d, угол 1 = 42, угол 2 = 140, угол 3 = 138. Какие из прямых a, b и с параллельны
СМОТРЕТЬ РЕШЕНИЕ

4 DE биссектриса угла ADF. Найдите углы треугольника ADE.
СМОТРЕТЬ РЕШЕНИЕ
Окружность. Основы
1 Радиус ОМ окружности с центром О делит хорду AB пополам. Докажите, что касательная, проведенная через точку М, параллельна хорде AB.
СМОТРЕТЬ РЕШЕНИЕ

2 На полуокружности AB взяты точки С и D так, что AC = 37, BD = 23. Найдите хорду CD, если радиус окружности равен 15 см.
СМОТРЕТЬ РЕШЕНИЕ

3 Хорды AB и CD пересекаются в точке E. Найдите ED, если АЕ = 5, ВЕ = 2, СЕ = 2,5; АЕ = 16, ВЕ = 9, СЕ = ED.
СМОТРЕТЬ РЕШЕНИЕ

1 Угол между диаметром AB и хордой AC равен 30. Через точку C проведена касательная, пересекающая прямую AB в точке D. Докажите, что треугольник ACD равнобедренный.
СМОТРЕТЬ РЕШЕНИЕ

2 Отрезки AB и AC являются отрезками касательных к окружности с центром О, проведенными из точки A. Найдите угол ВАС, если середина отрезка АО лежит на окружности.
СМОТРЕТЬ РЕШЕНИЕ

3 Хорды AB и CD окружности с центром О равны. Докажите, что две дуги с концами А и В соответственно равны двум дугам с концами C и D. Найдите дуги с концами C и D, если АОВ = 112
СМОТРЕТЬ РЕШЕНИЕ

4 Через точку, лежащую вне окружности, проведены две секущие, образующие угол в 32. Большая дуга окружности, заключенная между сторонами этого угла, равна 100. Найдите меньшую дугу.
СМОТРЕТЬ РЕШЕНИЕ

5 Диаметр АА1 окружности перпендикулярен к хорде ВВ1 и пересекает ее в точке C. Найдите ВВ1, если AC = 4 см, СА1 = 8 см.
СМОТРЕТЬ РЕШЕНИЕ

1 Отрезок АН перпендикуляр, проведенный из точки А к прямой, проходящей через центр О окружности радиуса 3 см. Является ли прямая АН касательной к окружности, если OA = 5 см, АН = 4 см; НАО = 45, OA = 4 см.
СМОТРЕТЬ РЕШЕНИЕ

2 Вершины треугольника ABC лежат на окружности. Докажите, что если AB диаметр окружности, то угол С>А и С>B
СМОТРЕТЬ РЕШЕНИЕ

3 Докажите, что перпендикуляр, проведенный из какой-нибудь точки окружности к диаметру, есть среднее пропорциональное для отрезков, на которые основание перпендикуляра делит диаметр.
СМОТРЕТЬ РЕШЕНИЕ