Решение задач » Решебники онлайн » Решебники по теоретической механике онлайн » Решебник Мещерский онлайн (ГДЗ Мещерский 1986 г, решение задач)
Решебник Мещерский онлайн

Теорема об изменении кинетической энергии материальной точки
30.1 Тело E, масса которого равна m, находится на гладкой горизонтальной плоскости. К телу прикреплена пружина жесткости c, второй конец которой прикреплен к шарниру O1. Длина недеформированной пружины равна l0; OO1=l. В начальный момент тело E отклонено от положения равновесия O на конечную величину OE=a и отпущено без начальной скорости. Определить скорость тела в момент прохождения положения равновесия.
СМОТРЕТЬ РЕШЕНИЕ

30.2 В условиях предыдущей задачи определить скорость тела E в момент прохождения положения равновесия O, предполагая, что плоскость шероховата и коэффициент трения скольжения равен f.
СМОТРЕТЬ РЕШЕНИЕ

30.3 Тело K находится на шероховатой наклонной плоскости в покое. Угол наклона плоскости к горизонту α и f0>tg α, где f0 — коэффициент трения покоя. В некоторый момент телу сообщена начальная скорость v0, направленная вдоль плоскости вниз. Определить путь s, пройденный телом до остановки, если коэффициент трения при движении равен f.
СМОТРЕТЬ РЕШЕНИЕ

30.4 По наклонной плоскости, составляющей с горизонтом угол 30°, спускается без начальной скорости тяжелое тело; коэффициент трения равен 0,1. Какую скорость будет иметь тело, пройдя 2 м от начала движения?
СМОТРЕТЬ РЕШЕНИЕ

30.5 Снаряд массы 24 кг вылетает из ствола орудия со скоростью 500 м/с. Длина ствола орудия 2 м. Каково среднее значение давления газов на снаряд?
СМОТРЕТЬ РЕШЕНИЕ

30.6 Материальная точка массы 3 кг двигалась по горизонтальной прямой влево со скоростью 5 м/с. К точке приложили постоянную силу, направленную вправо. Действие силы прекратилось через 30 c, и тогда скорость точки оказалась равной 55 м/с и направленной вправо. Найти величину этой силы и совершенную ею работу.
СМОТРЕТЬ РЕШЕНИЕ

30.7 При подходе к станции поезд идет со скоростью 10 м/с под уклон, угол которого α=0,008 рад. В некоторый момент машинист начинает тормозить поезд. Сопротивление от трения в осях составляет 0,1 от веса поезда. Определить, на каком расстоянии и через какое время от начала торможения поезд остановится. Принять, что sin α=α.
СМОТРЕТЬ РЕШЕНИЕ

30.8 Поезд массы 200 т идет по горизонтальному участку пути с ускорением 0,2 м/с2. Сопротивление от трения в осях составляет 0,01 веса поезда и считается не зависящим от скорости. Определить мощность, развиваемую тепловозом в момент t=10 c, если в начальный момент скорость поезда равнялась 18 м/с.
СМОТРЕТЬ РЕШЕНИЕ

30.9 Брус начинает двигаться с начальной скоростью v0 по горизонтальной шероховатой плоскости и проходит до полной остановки расстояние s. Определить коэффициент трения скольжения, считая, что сила трения пропорциональна нормальному давлению.
СМОТРЕТЬ РЕШЕНИЕ

30.10 Железнодорожная платформа имеет массу 6 т и при движении испытывает сопротивление от трения в осях, равное 0,0025 ее веса. Рабочий уперся в покоящуюся платформу и покатил ее по горизонтальному и прямолинейному участку пути, действуя на нее с силой 250 Н. Пройдя 20 м, он предоставил платформе катиться самой. Вычислить, пренебрегая сопротивлением воздуха и трением колес о рельсы, наибольшую скорость платформы во время движения, а также весь путь, пройденный ею до остановки.
СМОТРЕТЬ РЕШЕНИЕ

30.11 Гвоздь вбивается в стену, оказывающую сопротивление 700 Н. При каждом ударе молотка гвоздь углубляется в стену на длину l=0,15 см. Определить массу молотка, если при ударе о шляпку гвоздя он имеет скорость v=1,25 м/с.
СМОТРЕТЬ РЕШЕНИЕ

30.12 Упавший на Землю метеорит массы 39 кг углубился в почву на 1,875 м. Вычислено, что почва в месте падения метеорита оказывает проникающему в нее телу сопротивление 5*10^5 Н. С какой скоростью метеорит достиг поверхности Земли? С какой высоты он должен был упасть без начальной скорости, чтобы у поверхности Земли приобрести указанную скорость? Считаем силу тяжести постоянной и пренебрегаем сопротивлением воздуха.
СМОТРЕТЬ РЕШЕНИЕ

30.13 Незаторможенный поезд массы 500 т, двигаясь с выключенным двигателем, испытывает сопротивление R=(7650+500v) Н, где v — скорость в м/с. Зная начальную скорость поезда v0=15 м/с, определить, какое расстояние пройдет поезд до остановки.
СМОТРЕТЬ РЕШЕНИЕ

30.14 Главную часть установки для испытания материалов ударом составляет тяжелая стальная отливка M, прикрепленная к стержню, который может вращаться почти без трения вокруг неподвижной горизонтальной оси O. Пренебрегая массой стержня, рассматриваем отливку M как материальную точку, для которой расстояние OM=0,981 м. Определить скорость v этой точки в нижнем положении B, если она падает из верхнего положения A с ничтожно малой начальной скоростью.
СМОТРЕТЬ РЕШЕНИЕ

30.15 Написать выражение потенциальной энергии упругой рессоры, прогибающейся на 1 см от нагрузки в 4 кН, предполагая, что прогиб x возрастает прямо пропорционально нагрузке.
СМОТРЕТЬ РЕШЕНИЕ

30.16 Пружина имеет в ненапряженном состоянии длину 20 см. Сила, необходимая для изменения ее длины на 1 см, равна 1,96 Н. С какой скоростью v вылетит из трубки шарик массы 30 г, если пружина была сжата до длины 10 см? Трубка расположена горизонтально.
СМОТРЕТЬ РЕШЕНИЕ

30.17 Статический прогиб балки, загруженной посередине грузом Q, равен 2 мм. Найти наибольший прогиб балки, пренебрегая ее массой, в двух случаях: 1) когда груз Q положен на неизогнутую балку и опущен без начальной скорости; 2) когда груз Q падает на середину неизогнутой балки с высоты 10 см без начальной скорости. При решении задачи следует иметь в виду, что сила, действующая на груз со стороны балки, пропорциональна ее прогибу.
СМОТРЕТЬ РЕШЕНИЕ

30.18 Две ненапряженные пружины AC и BC, расположенные по горизонтальной прямой Ax, прикреплены шарнирами к неподвижным точкам A и B, а в точке C — к гире массы 2 кг. Пружина AC сжимается на 1 см силой 20 Н, а пружина CB вытягивается на 1 см силой 40 Н. Расстояние AC=BC=10 см. Гире C сообщена скорость v0=2 м/с в таком направлении, что при последующем движении она проходит через точку D, координаты которой xD=8 см, yD=2 см, если за начало координат принять точку A и координатные оси направить, как указано на рисунке. Определить скорость гири в момент прохождения ее через точку D, лежащую в вертикальной плоскости xy.
СМОТРЕТЬ РЕШЕНИЕ

30.19 Груз M веса P, подвешенный в точке O на нерастяжимой нити длины l, начинает двигаться в вертикальной плоскости без начальной скорости из точки A; при отсутствии сопротивления груз M достигнет положения C, где его скорость обратится в нуль. Приняв потенциальную энергию, обусловленную силой тяжести груза M в точке B, равной нулю, построить графики изменений кинетической и потенциальной энергии, а также их суммы в зависимости от угла φ. Массой нити пренебречь.
СМОТРЕТЬ РЕШЕНИЕ

30.20 Материальная точка массы m совершает гармонические колебания по прямой Ox под действием упругой восстанавливающей силы по следующему закону: x=a sin(kt+β). Пренебрегая сопротивлениями, построить графики изменения кинетической энергии T и потенциальной энергии V движущейся точки в зависимости от координаты x; в начале координат V=0.
СМОТРЕТЬ РЕШЕНИЕ

30.21 Какую вертикальную силу, постоянную по величине и направлению, надо приложить к материальной точке, чтобы при падении точки на Землю с высоты, равной радиусу Земли, эта сила сообщила точке такую же скорость, как сила притяжения к Земле, обратно пропорциональная квадрату расстояния точки до центра Земли?
СМОТРЕТЬ РЕШЕНИЕ

30.22 Горизонтальная пружина, на конце которой прикреплена материальная точка, сжата силой P и находится в покое. Внезапно сила P меняет направление на прямо противоположное. Определить, пренебрегая массой пружины, во сколько раз получающееся при этом наибольшее растяжение l2 больше первоначального сжатия l1.
СМОТРЕТЬ РЕШЕНИЕ

30.23 Тело брошено с поверхности Земли вверх по вертикальной линии с начальной скоростью v0. Определить высоту H поднятия тела, принимая во внимание, что сила тяжести изменяется обратно пропорционально квадрату расстояния от центра Земли; сопротивлением воздуха пренебречь. Радиус Земли R=6370 км, v0=1 км/с.
СМОТРЕТЬ РЕШЕНИЕ

30.24 Две частицы заряжены положительным электричеством, заряд первой частицы q1=100 Кл, заряд второй частицы q2=0,1q1, первая частица остается неподвижной, а вторая движется вследствие силы отталкивания от первой частицы. Масса второй частицы равна 1 кг, начальное расстояние от первой частицы равно 5 м, а начальная скорость равна нулю. Определить верхний предел для скорости движущейся частицы, принимая во внимание действие только одной силы отталкивания F=q1q2/r2, где r — расстояние между частицами.
СМОТРЕТЬ РЕШЕНИЕ

30.25 Определить скорость v0, которую нужно сообщить по вертикали вверх телу, находящемуся на поверхности Земли, для того, чтобы оно поднялось на высоту, равную земному радиусу; при этом нужно принять во внимание только силу притяжения Земли, которая изменяется обратно пропорционально квадрату расстояния тела от центра Земли. Радиус Земли равен 6,37*10^6 м, ускорение силы притяжения на поверхности Земли равно 9,8 м/с2.
СМОТРЕТЬ РЕШЕНИЕ

30.26 Найти, с какой скоростью v0 нужно выбросить снаряд с поверхности Земли по направлению к Луне, чтобы он достиг точки, где силы притяжения Земли и Луны равны, и остался в этой точке в равновесии. Движением Земли и Луны и сопротивлением воздуха пренебречь. Ускорение силы тяжести у поверхности Земли g=9,8 м/с2. Отношение массы Луны и Земли m:M=1:80; расстояние между ними d=60R, где считаем R=6000 км (радиус Земли). Коэффициент f, входящий в формулу для величины силы всемирного тяготения, находим из уравнения mg = mf[M/R2 - m/(d - R)2].
СМОТРЕТЬ РЕШЕНИЕ

30.27 Грунт утрамбовывается ручной бабой массы 60 кг и с поперечным сечением 12 дм2, которая падает с высоты 1 м. При последнем ударе баба входит в грунт на глубину 1 см, причем сопротивление грунта движению бабы можно считать постоянным. Какую наибольшую нагрузку выдержит грунт, не давая осадки? Допускается, что утрамбованный грунт может выдержать без осадки нагрузку, не превосходящую того сопротивления, которое встречает баба, углубляясь в грунт.
СМОТРЕТЬ РЕШЕНИЕ

30.28 Шахтный лифт движется вниз со скоростью v0=12 м/с. Масса лифта 6 т. Какую силу трения между лифтом и стенками шахты должен развить предохранительный парашют, чтобы остановить лифт на протяжении пути s=10 м, если канат, удерживающий лифт, оборвался? Силу трения считать постоянной.
СМОТРЕТЬ РЕШЕНИЕ

30.29 Кольцо массы 200 г скользит вниз по проволочной дуге, имеющей форму параболы y=x2. Кольцо начало двигаться из точки x=3 м, y=9 м с нулевой начальной скоростью. Определить скорость кольца и силу, действующую на кольцо со стороны проволоки, в момент прохождения им нижней точки параболы.
СМОТРЕТЬ РЕШЕНИЕ

30.30 Математический маятник длины l вывели из положения равновесия, сообщив ему начальную скорость v0, направленную по горизонтали. Определить длину дуги, которую он опишет в течение одного периода.
СМОТРЕТЬ РЕШЕНИЕ
Смешанные задачи (Динамика материальной точки)
31.1 Груз массы 1 кг подвешен на нити длины 0,5 м в неподвижной точке O. В начальный момент груз отклонен от вертикали на угол 60°, и ему сообщена скорость v0 в вертикальной плоскости по перпендикуляру к нити вниз, равная 2,1 м/с. Определить натяжение нити в наинизшем положении и отсчитываемую по вертикали высоту, на которую груз поднимается над этим положением.
СМОТРЕТЬ РЕШЕНИЕ

31.2 Сохраняя условия предыдущей задачи, кроме величины скорости v0, найти, при какой величине скорости v0 груз будет проходить всю окружность.
СМОТРЕТЬ РЕШЕНИЕ

31.3 По рельсам, положенным по пути AB и образующим затем петлю в виде кругового кольца BC радиуса a, скатывается вагонетка массы m. С какой высоты h нужно пустить вагонетку без начальной скорости, чтобы она могла пройти всю окружность кольца, не отделяясь от него? Определить давление N вагонетки на кольцо в точке M, для которой ∠MOB=φ.
СМОТРЕТЬ РЕШЕНИЕ

31.4 Путь, по которому движется вагонетка, скатываясь из точки A, образует разомкнутую петлю радиуса r, как показано на рисунке; ∠BOC=∠BOD=α. Найти, с какой высоты h должна скатываться вагонетка без начальной скорости, чтобы она могла пройти всю петлю, а также то значение угла α, при котором эта высота h наименьшая. Указание. На участке DC центр тяжести вагонетки совершает параболическое движение.
СМОТРЕТЬ РЕШЕНИЕ

31.5 Тяжелая стальная отливка массы M=20 кг прикреплена к стержню, который может вращаться без трения вокруг неподвижной оси O. Отливка падает из верхнего положения А с ничтожно малой начальной скоростью. Пренебрегая массой стержня, определить наибольшее давление на ось. (См. рисунок к задаче 30.14.)
СМОТРЕТЬ РЕШЕНИЕ

31.6 Какой угол с вертикалью составляет вращающийся стержень (в предыдущей задаче) в тот момент, когда давление на ось равно нулю?
СМОТРЕТЬ РЕШЕНИЕ

31.7 Парашютист массы 70 кг выбросился из самолета и, пролетев 100 м, раскрыл парашют. Найти силу натяжения стропов, на которых человек был подвешен к парашюту, если в течение первых пяти секунд с момента раскрытия парашюта, при постоянной силе сопротивления движению, скорость парашютиста уменьшилась до 4,3 м/с. Сопротивлением воздуха движению человека пренебречь.
СМОТРЕТЬ РЕШЕНИЕ

31.8 За 500 м до станции, стоящей на пригорке высоты 2 м, машинист поезда, идущего со скоростью 12 м/с, закрыл пар и начал тормозить. Как велико должно быть сопротивление от торможения, считаемое постоянным, чтобы поезд остановился у станции, если масса поезда равна 1000 т, а сопротивление трения 20 кН?
СМОТРЕТЬ РЕШЕНИЕ

31.9 Тяжелая отливка массы m прикреплена к стержню, который может вращаться без трения вокруг неподвижной оси O и отклонен от вертикали на угол φ0. Из этого начального положения отливке сообщают начальную скорость v0 (см. рисунок). Определить усилие в стержне как функцию угла отклонения стержня от вертикали, пренебрегая массой стержня. Длина стержня l.
СМОТРЕТЬ РЕШЕНИЕ

31.10 Сферический маятник состоит из нити OM длины l, прикрепленной одним концом к неподвижной точке O, и тяжелой точки M веса P, прикрепленной к другому концу нити. Точку M отклонили из положения равновесия так, что ее координаты стали: при t=0 x=x0, y=0, и сообщили ей начальную скорость: x0 =0, y0 =v0, z0 =0. Определить, при каком соотношении начальных условий точка M будет описывать окружность в горизонтальной плоскости и каково будет время обращения точки M по этой окружности.
СМОТРЕТЬ РЕШЕНИЕ

31.11 Лыжник при прыжке с трамплина спускается с эстакады AB, наклоненной под углом α=30° к горизонту. Перед отрывом он проходит небольшую горизонтальную площадку BC, длиной которой при расчете пренебрегаем. В момент отрыва лыжник толчком сообщает себе вертикальную составляющую скорости vy=1 м/с. Высота эстакады h=9 м, коэффициент трения лыж о снег f=0,08, линия приземления CD образует угол β=45° с горизонтом. Определить дальность l полета лыжника, пренебрегая сопротивлением воздуха. Примечание. Дальностью полета считать длину, измеряемую от точки отрыва C до точки приземления лыжника на линии CD.
СМОТРЕТЬ РЕШЕНИЕ

31.12 Груз М веса Р падает без начальной скорости с высоты H на плиту A, лежащую на спиральной пружине B. От действия упавшего груза М пружина сжимается на величину h. Не учитывая веса плиты А и сопротивлений, вычислить время Т сжатия пружины на величину h и импульс S упругой силы пружины за время Т.
СМОТРЕТЬ РЕШЕНИЕ

31.13 При разрыве маховика одна из его частей, наиболее удаленная от места катастрофы, оказалась на расстоянии s=280 м от первоначального положения. Пренебрегая сопротивлением воздуха при движении указанной части из первоначального положения в конечное, лежащее в той же горизонтальной плоскости, найти наименьшее возможное значение угловой скорости маховика в момент катастрофы, если радиус маховика R=1,75 м.
СМОТРЕТЬ РЕШЕНИЕ

31.14 Груз M, подвешенный на пружине к верхней точке A круглого кольца, расположенного в вертикальной плоскости, падает, скользя по кольцу без трения. Найти, какова должна быть жесткость пружины для того, чтобы давление груза на кольцо в нижней точке B равнялось нулю при следующих данных: радиус кольца 20 см, масса груза 5 кг, в начальном положении груза расстояние AM равно 20 см и пружина имеет натуральную длину; начальная скорость груза равна нулю; массой пружины пренебречь.
СМОТРЕТЬ РЕШЕНИЕ

31.15 Определить давление груза M на кольцо в нижней точке B (рисунок предыдущей задачи) при следующих данных: радиус кольца 20 см, масса груза 7 кг; в начальном положении груза расстояние AM равно 20 см, причем пружина растянута и длина ее вдвое больше натуральной длины, которая равна 10 см; жесткость пружины такова, что она удлиняется на 1 см при действии силы в 4,9 Н; начальная скорость груза равна нулю; массой пружины пренебрегаем.
СМОТРЕТЬ РЕШЕНИЕ

31.16 Гладкое тяжелое кольцо M веса Q может скользить без трения по дуге окружности радиуса R см, расположенной в вертикальной плоскости. К кольцу привязана упругая нить MOA, проходящая через гладкое неподвижное кольцо O и закрепленная в точке A. Принять, что натяжение нити равно нулю, когда кольцо M находится в точке O, и что для вытягивания нити на 1 см нужно приложить силу c. В начальный момент кольцо находится в точке B в неустойчивом равновесии и при ничтожно малом толчке начинает скользить по окружности. Определить давление N, производимое кольцом на окружность.
СМОТРЕТЬ РЕШЕНИЕ

31.17 Груз подвешен на нити длины 0,5 м в неподвижной точке O. В начальном положении M0 груз отклонен от вертикали на угол 60°, и ему сообщена скорость v0 в вертикальной плоскости по перпендикуляру к нити вниз, равная 3,5 м/с. 1) Найти то положение M груза, в котором натяжение нити будет равно нулю, и скорость v1 в этом положении. 2) Определить траекторию последующего движения груза до того момента, когда нить будет опять натянута, и время, в течение которого точка пройдет эту траекторию.
СМОТРЕТЬ РЕШЕНИЕ

31.18 Математический маятник установлен на самолете, который поднимается на высоту 10 км. На какую часть надо уменьшить длину нити маятника, чтобы период малых колебаний маятника на этой высоте остался без изменений? Силу тяжести считать обратно пропорциональной квадрату расстояния до центра Земли.
СМОТРЕТЬ РЕШЕНИЕ

31.19 В неподвижной точке O посредством нити OM длины l подвешен груз M массы m. В начальный момент нить OM составляет с вертикалью угол α и скорость груза M равна нулю. При последующем движении нить встречает тонкую проволоку O1, направление которой перпендикулярно плоскости движения груза, а положение определяется полярными координатами: h=OO1 и β. Определить наименьшее значение угла α, при котором нить OM после встречи с проволокой будет на нее навиваться, а также изменение натяжения нити в момент ее встречи с проволокой. Толщиной проволоки пренебречь.
СМОТРЕТЬ РЕШЕНИЕ

31.20 Тяжелая точка M массы m движется по внутренней поверхности круглого цилиндра радиуса r. Считая поверхность цилиндра абсолютно гладкой и ось цилиндра вертикальной, определить давление точки на цилиндр. Начальная скорость точки равна по величине v0 и составляет угол α с горизонтом.
СМОТРЕТЬ РЕШЕНИЕ

31.21 В предыдущей задаче составить уравнения движения точки, если в начальный момент точка находилась на оси x.
СМОТРЕТЬ РЕШЕНИЕ

31.22 Камень M, находящийся на вершине A гладкого полусферического купола радиуса R, получает начальную горизонтальную скорость v0. В каком месте камень покинет купол? При каких значениях v0 камень сойдет с купола в начальный момент? Сопротивлением движению камня по куполу пренебречь.
СМОТРЕТЬ РЕШЕНИЕ

31.23 Точка M массы m движется по гладкой поверхности полусферического купола радиуса R. Считая, что на точку действует сила тяжести, параллельная оси z, и зная, что в начальный момент точка имела скорость v0 и находилась на высоте h0 от основания купола, определить давление точки на купол, когда она будет на высоте h от основания купола.
СМОТРЕТЬ РЕШЕНИЕ

31.24 Точка M массы m движется по цепной линии y = (ex/a + e-x/a)a/2 = a ch(x/a) под действием силы отталкивания, параллельной оси Oy, направленной от оси Ox и равной kmy. В момент t=0 x=1 м, x =1 м/с. Определить давление N точки на кривую и движение точки при k=1 рад/с2 и a=1 м (силой тяжести пренебрегаем). Радиус кривизны цепной линии равен y2/a.
СМОТРЕТЬ РЕШЕНИЕ

31.25 По какой плоской кривой следует изогнуть трубку, чтобы помещенный в нее в любом месте шарик оставался по отношению к трубке в равновесии, если трубка вращается с постоянной угловой скоростью ω вокруг оси Oy?
СМОТРЕТЬ РЕШЕНИЕ

31.26 Точка M массы m=1 кг движется по гладкой поверхности круглого конуса, угол раствора которого 2α=90°, под влиянием силы отталкивания от вершины O, пропорциональной расстоянию: F=c*OM Н, где c=1 Н/м. В начальный момент точка M находится в точке A, расстояние OA равно a=2 м, начальная скорость v0=2 м/с и направлена параллельно основанию конуса. Определить движение точки M (силой тяжести пренебречь). Положение точки M определяем координатой z и полярными координатами r и φ в плоскости, перпендикулярной оси Oz; уравнение поверхности конуса r2-z2=0.
СМОТРЕТЬ РЕШЕНИЕ

31.27 При условиях предыдущей задачи, считая ось конуса направленной по вертикали вверх и учитывая силу тяжести, определить давление точки на поверхность конуса.
СМОТРЕТЬ РЕШЕНИЕ

31.28 Материальная точка A под действием силы тяжести движется по шероховатой винтовой поверхности, ось которой Oz вертикальна; поверхность задана уравнением z=aφ+f®; коэффициент трения точки о поверхность равен k. Найти условие, при котором движение точки происходит на постоянном расстоянии от оси AB=r0, т.е. происходит по винтовой линии, а также найти скорость этого движения, предполагая, что a=const. Указание. Для решения задачи целесообразно воспользоваться системой естественных осей, проектируя уравнение движения на касательную, главную нормаль и бинормаль винтовой линии в точке A. На рисунке угол между нормальной компонентой N реакции винтовой поверхности и ортом главной нормали n° обозначен через β.
СМОТРЕТЬ РЕШЕНИЕ

31.29 Тело K, размерами которого можно пренебречь, установлено в верхней точке A шероховатой поверхности неподвижного полуцилиндра радиуса R. Какую начальную горизонтальную скорость v0, направленную по касательной к цилиндру, нужно сообщить телу K, чтобы оно, начав движение, остановилось на поверхности цилиндра, если коэффициенты трения скольжения при движении и покое одинаковы и равны f?
СМОТРЕТЬ РЕШЕНИЕ

31.30 Тело K, размерами которого можно пренебречь, установлено в нижней точке A внутренней части шероховатой поверхности неподвижного цилиндра радиуса R. Какую начальную горизонтальную скорость v0, направленную по касательной к цилиндру, нужно сообщить телу K, чтобы оно достигло верхней точки B цилиндра? Коэффициент трения скольжения равен f.
СМОТРЕТЬ РЕШЕНИЕ

31.31 Шарик, подвешенный на нити, описывает окружность в горизонтальной плоскости, образуя конический маятник. Найти высоту конуса, если шарик совершает 20 оборотов в минуту.
СМОТРЕТЬ РЕШЕНИЕ

31.32 Материальная точка единичной массы движется в горизонтальной плоскости под действием силового поля с потенциалом П=x2+xy+y2. В начальный момент точка имеет координаты x=3 см, y=4 см и скорость 10 см/с, параллельную положительному направлению оси x. Определить движение точки.
СМОТРЕТЬ РЕШЕНИЕ

31.33 Маленькому кольцу, надетому на проволочную горизонтальную окружность радиуса a, сообщили начальную скорость v0. Коэффициент трения кольца о проволоку равен f. Определить, через какое время кольцо остановится.
СМОТРЕТЬ РЕШЕНИЕ

31.34 Материальная точка массы 2 кг притягивается к некоторому центру силой F=(-8xi-8yj-2zk) Н. Начальное положение материальной точки определяется координатами x=4 см, y=2 см, z=4 см. Начальная скорость равна нулю. Определить уравнения движения точки и ее траекторию.
СМОТРЕТЬ РЕШЕНИЕ

31.35 Конический маятник имеет длину l и описывает в горизонтальной плоскости окружность радиуса a. Определить период обращения конического маятника.
СМОТРЕТЬ РЕШЕНИЕ
Колебательное движение
32.1 Пружина AB, закрепленная одним концом в точке A, такова, что для удлинения ее на 1 м необходимо приложить в точке B при статической нагрузке силу 19,6 Н. В некоторый момент к нижнему концу B недеформированной пружины подвешивают гирю C массы 0,1 кг и отпускают ее без начальной скорости. Пренебрегая массой пружины, написать уравнение дальнейшего движения гири и указать амплитуду и период ее колебаний, отнеся движение к оси, проведенной вертикально вниз из положения статического равновесия гири.
СМОТРЕТЬ РЕШЕНИЕ

32.2 При равномерном спуске груза массы M=2 т со скоростью v=5 м/с произошла неожиданная задержка верхнего конца троса, на котором опускался груз, из-за защемления троса в обойме блока. Пренебрегая массой троса, определить его наибольшее натяжение при последующих колебаниях груза, если коэффициент жесткости троса 4*10^6 Н/м.
СМОТРЕТЬ РЕШЕНИЕ

32.3 Определить наибольшее натяжение троса в предыдущей задаче, если между грузом и тросом введена упругая пружина с коэффициентом жесткости c1=4*10^5 Н/м.
СМОТРЕТЬ РЕШЕНИЕ

32.4 Груз Q, падая с высоты h=1 м без начальной скорости, ударяется об упругую горизонтальную балку в ее середине; концы балки закреплены. Написать уравнение дальнейшего движения груза на балке, отнеся движение к оси, проведенной вертикально вниз из положения статического равновесия груза на балке, если статический прогиб балки в ее середине при указанной нагрузке равен 0,5 см; массой балки пренебречь.
СМОТРЕТЬ РЕШЕНИЕ

32.5 На каждую рессору вагона приходится нагрузка P Н; под этой нагрузкой рессора при равновесии прогибается на 5 см. Определить период T собственных колебаний вагона на рессорах. Упругое сопротивление рессоры пропорционально стреле ее прогиба.
СМОТРЕТЬ РЕШЕНИЕ

32.6 Определить период свободных колебаний фундамента машины, поставленного на упругий грунт, если масса фундамента с машиной M=90 т, площадь подошвы фундамента S=15 м2, коэффициент жесткости грунта c=λS, где λ=30 Н/см3 — так называемая удельная жесткость грунта.
СМОТРЕТЬ РЕШЕНИЕ

32.7 Найти период свободных вертикальных колебаний корабля на спокойной воде, если масса корабля M т, площадь его горизонтальной проекции S м2. Плотность воды ρ=1 т/м3. Силами, обусловленными вязкостью воды, пренебречь.
СМОТРЕТЬ РЕШЕНИЕ

32.8 В условиях предыдущей задачи найти уравнения движения корабля, если он был спущен на воду с нулевой вертикальной скоростью.
СМОТРЕТЬ РЕШЕНИЕ

32.9 Груз, вес которого равен P Н, подвешен на упругой нити к неподвижной точке. Выведенный из положения равновесия, груз начинает совершать колебания. Выразить длину нити x в функции времени и найти, какому условию должна удовлетворять начальная длина ее x0, чтобы во время движения гири нить оставалась натянутой. Натяжение нити пропорционально удлинению; длина ее в нерастянутом состоянии равна l; от действия статической нагрузки, равной q Н, нить удлиняется на 1 см. Начальная скорость груза равна нулю.
СМОТРЕТЬ РЕШЕНИЕ

32.10 На два вращающихся в противоположные стороны, указанные на рисунке, цилиндрических шкива одинакового радиуса свободно положен однородный стержень; центры шкивов O1 и O2 находятся на горизонтальной прямой O1O2; расстояние O1O2=2l. Стержень приводится в движение силами трения, развивающимися в точках касания его со шкивами; эти силы пропорциональны давлению стержня на шкив, причем коэффициент пропорциональности (коэффициент трения) равен f. 1) Определить движение стержня после того, как мы сдвинем его из положения симметрии на x0 при v0=0. 2) Найти коэффициент трения f, зная, что период колебаний T стержня при l=25 см равен 2 c.
СМОТРЕТЬ РЕШЕНИЕ

32.11 К одной и той же пружине подвесили сначала груз веса p, а во второй раз груз веса Зp. Определить, во сколько раз изменится период колебаний. Зная коэффициент жесткости пружины c, а также начальные условия (грузы подвешивались к концу нерастянутой пружины и отпускались без начальной скорости), найти уравнения движения грузов.
СМОТРЕТЬ РЕШЕНИЕ

32.12 К пружине жесткости c=2 кН/м сначала подвесили груз массы 6 кг, а затем заменили его грузом вдвое большей массы. Определить частоты и периоды колебаний грузов.
СМОТРЕТЬ РЕШЕНИЕ

32.13 К пружине, коэффициент жесткости которой равен c=19,6 Н/м, были подвешены два груза с массами m1=0,5 кг и m2=0,8 кг. Система находилась в покое в положении статического равновесия, когда груз m2 убрали. Найти уравнение движения, частоту, круговую частоту и период колебаний оставшегося груза.
СМОТРЕТЬ РЕШЕНИЕ

32.14 Груз массы m1=2 кг, подвешенный к пружине, коэффициент жесткости которой c=98 Н/м, находится в равновесии. В некоторый момент к грузу m1 добавили груз m2=0,8 кг. Определить уравнение движения и период колебаний двух грузов.
СМОТРЕТЬ РЕШЕНИЕ

32.15 Груз подвесили сначала к пружине с жесткостью c1=2 кН/м, а затем к пружине с жесткостью c2=4 кН/м. Найти отношение частот и отношение периодов колебаний груза в этих двух случаях.
СМОТРЕТЬ РЕШЕНИЕ

32.16 Тело массы m находится на наклонной плоскости, составляющей угол α с вертикалью. К телу прикреплена пружина, жесткость которой c. Пружина параллельна наклонной плоскости. Найти уравнение движения тела, если в начальный момент оно было прикреплено к концу нерастянутой пружины и ему была сообщена начальная скорость v0, направленная вниз по наклонной плоскости. Начало координат взять в положении статического равновесия.
СМОТРЕТЬ РЕШЕНИЕ

32.17 На гладкой плоскости, наклоненной к горизонту под углом α находится прикрепленный к пружине груз веса P. Статическое удлинение пружины равно f. Определить колебания груза, если в начальный момент пружина была растянута из ненапряженного состояния на длину, равную 3f, и груз отпущен без начальной скорости.
СМОТРЕТЬ РЕШЕНИЕ

32.18 Тело массы M=12 кг, прикрепленное к концу пружины, совершает гармонические колебания. При помощи секундомера установлено, что тело совершило 100 полных колебаний за 45 c. После этого к концу пружины добавочно прикрепили груз массы M1=6 кг. Определить период колебаний двух грузов на пружине.
СМОТРЕТЬ РЕШЕНИЕ

32.19 В условиях предыдущей задачи найти уравнение движения одного груза M и двух грузов M+M1, если в обоих случаях грузы были подвешены к концу нерастянутой пружины.
СМОТРЕТЬ РЕШЕНИЕ

32.20 Груз M, подвешенный к неподвижной точке A на пружине, совершает малые гармонические колебания в вертикальной плоскости, скользя без трения по дуге окружности, диаметр которой AB равен l; натуральная длина пружины a; жесткость пружины такова, что при действии силы, равной весу груза M, она получает удлинение, равное b. Определить период T колебаний в том случае, когда l=a+b; массой пружины пренебречь и считать, что при колебаниях она остается растянутой.
СМОТРЕТЬ РЕШЕНИЕ

32.21 В условиях предыдущей задачи найти уравнение движения груза M, если в начальный момент ∠BAM=φ0 и точке M сообщили начальную скорость v0, направленную по касательной к окружности вниз.
СМОТРЕТЬ РЕШЕНИЕ

32.22 Тело E, масса которого равна m, находится на гладкой горизонтальной плоскости. К телу прикреплена пружина жесткости c, второй конец которой прикреплен к шарниру O1. Длина недеформированной пружины равна l0; в положении равновесия имеет конечный предварительный натяг, равный F0=c(l-l0), где l=OO1. Учитывая в горизонтальной составляющей упругой силы пружины лишь линейные члены относительно отклонения тела от положения равновесия, определить период малых колебаний тела.
СМОТРЕТЬ РЕШЕНИЕ

32.23 Материальная точка массы m подвешена к концу нерастянутой пружины с коэффициентом жесткости c и отпущена с начальной скоростью v0, направленной вниз. Найти уравнение движения и период колебаний точки, если в момент времени, когда точка находилась в крайнем нижнем положении, к ней прикладывают силу Q=const, направленную вниз. Начало координат выбрать в положении статического равновесия, т.е. на расстоянии P/c от конца нерастянутой пружины.
СМОТРЕТЬ РЕШЕНИЕ

32.24 Определить период свободных колебаний груза массы m, прикрепленного к двум параллельно включенным пружинам, и коэффициент жесткости пружины, эквивалентной данной двойной пружине, если груз расположен так, что удлинения обеих пружин, обладающих заданными коэффициентами жесткости c1 и c2, одинаковы.
СМОТРЕТЬ РЕШЕНИЕ

32.25 В условиях предыдущей задачи найти уравнение движения груза, если его подвесили к нерастянутым пружинам и сообщили ему начальную скорость v0, направленную вверх.
СМОТРЕТЬ РЕШЕНИЕ

32.26 Определить период свободных колебаний груза массы m, зажатого между двумя пружинами с разными коэффициентами жесткости c1 и c2.
СМОТРЕТЬ РЕШЕНИЕ

32.27 В условиях предыдущей задачи найти уравнение движения груза, если в положении равновесия ему сообщили скорость v0, направленную вниз.
СМОТРЕТЬ РЕШЕНИЕ

32.28 Определить коэффициент жесткости c пружины, эквивалентной двойной пружине, состоящей из двух последовательно включенных пружин с разными коэффициентами жесткости c1 и c2, и указать также период колебаний груза массы m, подвешенного на указанной двойной пружине.
СМОТРЕТЬ РЕШЕНИЕ

32.29 В условиях предыдущей задачи найти уравнение движения груза, если в начальный момент он находился ниже положения равновесия на расстоянии x0 и ему сообщили скорость v0, направленную вверх.
СМОТРЕТЬ РЕШЕНИЕ

32.30 Определить коэффициент жесткости составной пружины, состоящей из двух последовательно соединенных пружин с разными коэффициентами жесткости c1=9,8 Н/см и c2=29,4 Н/см. Найти период колебаний, амплитуду и уравнения движения груза массы 5 кг, подвешенного к указанной составной пружине, если в начальный момент груз был смещен из положения статического равновесия на 5 см вниз и ему была сообщена начальная скорость 49 см/с, направленная также вниз.
СМОТРЕТЬ РЕШЕНИЕ

32.31 Тело A, масса которого равна m, может перемещаться по горизонтальной прямой. К телу прикреплена пружина, коэффициент жесткости которой c. Второй конец пружины укреплен в неподвижной точке B. При угле α=α0 пружина не деформирована. Определить частоту и период малых колебаний тела.
СМОТРЕТЬ РЕШЕНИЕ

32.32 Точка A, масса которой равна m, прикреплена пружинами, как указано на рисунке. В исходном положении точка находится в равновесии и все пружины не напряжены. Определить коэффициент жесткости эквивалентной пружины при малых колебаниях точки вдоль оси x в абсолютно гладких направляющих и частоту свободных колебаний точки.
СМОТРЕТЬ РЕШЕНИЕ

32.33 Определить коэффициент жесткости пружины, эквивалентной трем пружинам, показанным на рисунке, при колебаниях точки M в абсолютно гладких направляющих вдоль оси x. Решить ту же задачу, если направляющие расположены вдоль оси y. Определить частоты этих колебаний.
СМОТРЕТЬ РЕШЕНИЕ

32.34 Определить коэффициент жесткости эквивалентной пружины, если груз M массы m прикреплен к стержню, массой которого можно пренебречь. Стержень шарнирно закреплен в точке O и прикреплен тремя вертикальными пружинами к фундаменту. Коэффициенты жесткости пружин c1, c2, c3. Пружины прикреплены к стержню на расстояниях a1, a2, a3 от шарнира. Груз M прикреплен к стержню на расстоянии b от шарнира. В положении равновесия стержень горизонтален. Эквивалентная пружина крепится к стержню на расстоянии b от шарнира. Найти частоту малых колебаний груза.
СМОТРЕТЬ РЕШЕНИЕ

32.35 Винтовая пружина состоит из n участков, коэффициенты жесткости которых соответственно равны c1, c2, ..., cn. Определить коэффициент жесткости c однородной пружины, эквивалентной данной, и период свободных колебаний точки, масса которой равна m.
СМОТРЕТЬ РЕШЕНИЕ

32.36 Груз массы 10 кг, лежащий на абсолютно гладкой горизонтальной плоскости зажат между двумя пружинами одинаковой жесткости c=19,6 Н/см. В некоторый момент груз был сдвинут на 4 см от положения равновесия вправо и отпущен без начальной скорости. Найти уравнение движения, период колебаний, а также максимальную скорость груза.
СМОТРЕТЬ РЕШЕНИЕ

32.37 Груз P массы m подвешен к стержню AB, который соединен двумя пружинами, с коэффициентами жесткости c2 и c3, со стержнем DE. Последний прикреплен к потолку в точке Н пружиной, коэффициент жесткости которой c1. При колебаниях стержни AB и DE остаются горизонтальными. Определить коэффициент жесткости одной эквивалентной пружины, при которой груз P будет колебаться с той же частотой. Найти период свободных колебаний груза. Массой стержней пренебречь.
СМОТРЕТЬ РЕШЕНИЕ

32.38 Определить собственную частоту колебаний груза Q массы m, подвешенного на конце упругой консоли длины l. Пружина, удерживающая груз, имеет жесткость c. Жесткость на конце консоли определяется формулой c1=3EJ/l3 (E — модуль упругости, J — момент инерции). Массой консоли пренебречь.
СМОТРЕТЬ РЕШЕНИЕ

32.39 Колебания груза массы M=10 кг, лежащего на середине упругой балки жесткости c=20 Н/см, происходят с амплитудой 2 см. Определить величину начальной скорости груза, если в момент времени t=0 груз находился в положении равновесия.
СМОТРЕТЬ РЕШЕНИЕ

32.40 Груз Q массы m закреплен горизонтально натянутым тросом AB=l. При малых вертикальных колебаниях груза натяжение троса S можно считать постоянным. Определить частоту свободных колебаний груза, если расстояние груза от конца троса A равно a.
СМОТРЕТЬ РЕШЕНИЕ

32.41 Груз веса 490,5 Н лежит посередине балки AB. Момент инерции поперечного сечения балки J=80 см4. Определить длину балки l из условия, чтобы период свободных колебаний груза на балке был равен T=1 c. Примечание. Статический прогиб балки определяется формулой f=Pl3/(48EJ), где модуль упругости Е=2,05*10^11 Н/м2.
СМОТРЕТЬ РЕШЕНИЕ

32.42 Груз Q массы m зажат между двумя вертикальными пружинами с коэффициентами жесткости c1 и c2. Верхний конец первой пружины закреплен неподвижно, а нижний конец второй пружины прикреплен к середине балки. Определить длину балки l так, чтобы период колебаний груза был равен T. Момент инерции поперечного сечения балки J, модуль упругости E.
СМОТРЕТЬ РЕШЕНИЕ

32.43 Найти уравнение движения и период колебаний груза Q массы m, подвешенного к пружине с коэффициентом жесткости c1, если пружина прикреплена к середине балки длины l. Жесткость балки на изгиб EJ. В начальный момент груз находился в положении статического равновесия и ему была сообщена скорость v0, направленная вниз.
СМОТРЕТЬ РЕШЕНИЕ

32.44 Груз веса Q зажат между двумя вертикальными пружинами, коэффициенты жесткости которых равны c1 и c2. Верхний конец первой пружины закреплен неподвижно. Нижний конец второй пружины прикреплен к свободному концу балки, заделанной другим концом в стене. Зная, что свободный конец заделанной балки под действием силы P, приложенной к свободному концу балки, дает прогиб f = Pl3/(3EJ), где EJ — заданная жесткость балки при изгибе, определить длину балки l, при которой груз будет колебаться с данным периодом T. Найти уравнение движения груза, если в начальный момент он был подвешен к концам нерастянутых пружин и отпущен без начальной скорости.
СМОТРЕТЬ РЕШЕНИЕ

32.45 Стержень OA длины l, на конце которого помещен груз массы m, может поворачиваться вокруг оси O. На расстоянии a от оси O к стержню прикреплена пружина с коэффициентом жесткости c. Определить собственную частоту колебаний груза, если стержень OA в положении равновесия занимает горизонтальное положение. Массой стержня пренебречь.
СМОТРЕТЬ РЕШЕНИЕ

32.46 Груз P массы m подвешен на пружине к концу стержня длины l, который может поворачиваться вокруг оси O. Коэффициент жесткости пружины c1. Пружина, поддерживающая стержень, установлена на расстоянии b от точки O и имеет коэффициент жесткости c2. Определить собственную частоту колебаний груза P. Массой стержня пренебречь.
СМОТРЕТЬ РЕШЕНИЕ

32.47 Для определения ускорения силы тяжести в данном месте земного шара производят два опыта. К концу пружины подвешивают груз P1 и измеряют статическое удлинение пружины l1. Затем к концу этой же пружины подвешивают другой груз P2 и опять измеряют статическое удлинение l2. После этого повторяют оба опыта, заставляя оба груза по очереди совершать свободные колебания, и измеряют при этом периоды колебаний T1 и T2. Второй опыт делают для того, чтобы учесть влияние массы самой пружины, считая, что при движении груза это влияние эквивалентно прибавлению к колеблющейся массе некоторой добавочной массы. Найти формулу для определения ускорения силы тяжести по этим опытным данным.
СМОТРЕТЬ РЕШЕНИЕ

32.48 По горизонтальной хорде (пазу) вертикально расположенного круга движется без трения точка M массы 2 кг под действием силы притяжения F, пропорциональной по величине расстоянию до центра O, причем коэффициент пропорциональности 98 Н/м. Расстояние от центра круга до хорды равно 20 см, радиус окружности 40 см. Определить закон движения точки, если в начальный момент она находилась в правом крайнем положении M0 и отпущена без начальной скорости. С какой скоростью точка проходит через середину хорды?
СМОТРЕТЬ РЕШЕНИЕ

32.49 К стержню AB, массой которого пренебречь, прикреплены три пружины. Две, с жесткостью c1 и c2, удерживают стержень и расположены на его концах. Третья пружина, жесткость которой c3, прикреплена к середине стержня и несет груз P массы m. Определить собственную частоту колебаний груза.
СМОТРЕТЬ РЕШЕНИЕ

32.50 Груз массы 10 кг, прикрепленный к пружине с коэффициентом жесткости c=1,96 кН/м, совершает колебания. Определить полную механическую энергию груза и пружины, пренебрегая массой пружины, построить график зависимости упругой силы от перемещения и показать на нем потенциальную энергию пружины. Принять положение статического равновесия за начало отсчета потенциальной энергии.
СМОТРЕТЬ РЕШЕНИЕ

32.51 Материальная точка массы m находится в поле действия силы с потенциалом П = (x2 + 4y2 + 16z2)k/2. Доказать, что при движении точки из любого (ненулевого) начального положения через некоторое время точка снова придет в это положение. Определить это время. Будет ли скорость при возвращении равна начальной скорости?
СМОТРЕТЬ РЕШЕНИЕ

32.52 Материальная точка массы m находится в поле действия силы, потенциал которой П = (x2 + 2y2 + 5z2)k/2. Вернется ли точка в этом случае в исходное положение по прошествии некоторого времени?
СМОТРЕТЬ РЕШЕНИЕ

32.53 Пластина D массы 100 г, подвешенная на пружине AB в неподвижной точке A, движется между полюсами магнита. Вследствие вихревых токов движение тормозится силой, пропорциональной скорости. Сила сопротивления движению равна kvФ2 Н, где k=0,001, v — скорость в м/с, Ф — магнитный поток между полюсами N и S. В начальный момент скорость пластинки равна нулю и пружина не растянута. Удлинение ее на 1 м получается при статическом действии силы в 19,6 Н, приложенной в точке B. Определить движение пластинки в том случае, когда Ф=10√5 Вб (вебер — единица магнитного потока в СИ).
СМОТРЕТЬ РЕШЕНИЕ

32.54 Определить движение пластинки D при условиях предыдущей задачи в том случае, когда магнитный поток Ф=100 Вб.
СМОТРЕТЬ РЕШЕНИЕ

32.55 Цилиндр веса P, радиуса r и высоты h подвешен на пружине AB, верхний конец которой B закреплен; цилиндр погружен в воду. В положении равновесия цилиндр погружается в воду на половину своей высоты. В начальный момент времени цилиндр был погружен в воду на 2/3 своей высоты и затем без начальной скорости пришел в движение по вертикальной прямой. Считая жесткость пружины равной c и предполагая, что действие воды сводится к добавочной архимедовой силе, определить движение цилиндра относительно положения равновесия. Принять удельный вес воды равным γ.
СМОТРЕТЬ РЕШЕНИЕ

32.56 В предыдущей задаче определить колебательное движение цилиндра, если сопротивление воды пропорционально первой степени скорости и равно αv.
СМОТРЕТЬ РЕШЕНИЕ

32.57 Тело A массы 0,5 кг лежит на негладкой горизонтальной плоскости и соединено с неподвижной точкой B пружиной, ось которой BC горизонтальна. Коэффициент трения тела о плоскость 0,2; пружина такова, что для удлинения ее на 1 см требуется сила 2,45 Н. Тело A отодвинуто от точки B так, что пружина вытянулась на 3 см, и затем отпущено без начальной скорости. Найти: 1) число размахов, которые совершит тело A, 2) величины размахов и 3) продолжительность T каждого из них. Тело остановится, когда в положении, где скорость его равна нулю, сила упругости пружины будет равна силе трения или меньше ее.
СМОТРЕТЬ РЕШЕНИЕ

32.58 Груз массы M=20 кг, лежащий на наклонной негладкой плоскости, прикрепили к нерастянутой пружине и сообщили ему начальную скорость v0=0,5 м/с, направленную вниз. Коэффициент трения скольжения f=0,08, коэффициент жесткости пружины c=20 Н/см. Угол, образованный наклонной плоскостью с горизонтом, α=45°. Определить: 1) период колебаний, 2) число максимальных отклонений от положения равновесия, которые совершит груз, 3) величины этих отклонений
СМОТРЕТЬ РЕШЕНИЕ

32.59 Тело массы M=0,5 кг совершает колебания на горизонтальной плоскости под действием двух одинаковых пружин, прикрепленных к телу одним концом и к неподвижной стойке — другим; оси пружин лежат на одной горизонтальной прямой. Коэффициенты жесткости пружин c1=c2=1,225 Н/см, коэффициент трения при движении тела f=0,2, при покое f0=0,25. В начальный момент тело было отодвинуто от своего среднего положения O вправо в положение x0=3 см и отпущено без начальной скорости. Найти: 1) область возможных равновесных положений тела — область застоя , 2) величину размахов тела, 3) число его размахов, 4) продолжительность каждого из них, 5) положение тела после колебаний.
СМОТРЕТЬ РЕШЕНИЕ

32.60 Под действием силы сопротивления R, пропорциональной первой степени скорости (R=αv), тело массы m, подвешенное к пружине жесткости c, совершает затухающие колебания. Определить, во сколько раз период затухающих колебаний T превосходит период незатухающих колебаний T0, если отношение n/k=0,1 (k2=c/m, n=α/(2m)).
СМОТРЕТЬ РЕШЕНИЕ

32.61 В условиях предыдущей задачи определить, через сколько полных колебаний амплитуда уменьшится в сто раз.
СМОТРЕТЬ РЕШЕНИЕ

32.62 Для определения сопротивления воды движению модели судна при очень малых скоростях модель M пустили плавать в сосуде, привязав нос и корму посредством двух одинаковых пружин A и B, силы натяжения которых пропорциональны удлинениям. Результаты наблюдений показали, что отклонения модели от положения равновесия после каждого размаха уменьшаются, составляя геометрическую прогрессию, знаменатель которой равен 0,9, а продолжительность каждого размаха T=0,5 c. Определить силу R сопротивления воды, приходящуюся на каждый килограмм массы модели, при скорости ее равной 1 м/с, предполагая, что сопротивление воды пропорционально первой степени скорости.
СМОТРЕТЬ РЕШЕНИЕ

32.63 В условиях предыдущей задачи найти уравнение движения модели, если в начальный момент пружина A была растянута, а пружина B сжата на величину Δl=4 см и модель была отпущена без начальной скорости.
СМОТРЕТЬ РЕШЕНИЕ

32.64 Для определения вязкости жидкости Кулон употреблял следующий метод: подвесив на пружине тонкую пластинку A, он заставлял ее колебаться сначала в воздухе, а затем в той жидкости, вязкость которой надлежало определить, и находил продолжительность одного размаха: T1 — в первом случае и T2 — во втором. Сила трения между пластинкой и жидкостью может быть выражена формулой 2Skv, где 2S — поверхность пластинки, v — ее скорость, k — коэффициент вязкости. Пренебрегая трением между пластинкой и воздухом, определить коэффициент k по найденным из опыта величинам T1 и T2, если масса пластинки равна m.
СМОТРЕТЬ РЕШЕНИЕ

32.65 Тело массы 5 кг подвешено на пружине, коэффициент жесткости которой равен 2 кН/м. Сопротивление среды пропорционально скорости. Амплитуда после четырех колебаний уменьшилась в 12 раз. Определить период и логарифмический декремент колебаний.
СМОТРЕТЬ РЕШЕНИЕ

32.66 В условиях предыдущей задачи найти уравнение движения тела, если его подвесили к концу нерастянутой пружины и отпустили без начальной скорости.
СМОТРЕТЬ РЕШЕНИЕ

32.67 Тело массы 6 кг, подвешенное на пружине, при отсутствии сопротивления колеблется с периодом T=0,4π c, а если действует сопротивление, пропорциональное первой степени скорости, с периодом T1=0,5π c. Найти коэффициент пропорциональности α в выражении силы сопротивления R =-αv и определить движение тела, если в начальный момент пружина была растянута из положения равновесия на 4 см и тело представлено самому себе.
СМОТРЕТЬ РЕШЕНИЕ

32.68 Тело массы 1,96 кг, подвешенное на пружине, которая силой 4,9 Н растягивается на 10 см, при движении встречает сопротивление, пропорциональное первой степени скорости и при скорости 1 м/с равное 19,6 Н. В начальный момент пружина растянута из положения равновесия на 5 см и тело пришло в движение без начальной скорости. Найти закон этого движения.
СМОТРЕТЬ РЕШЕНИЕ

32.69 Грузы массы m1=2 кг и m2=3 кг подвешены в положении статического равновесия к пружине, коэффициент жесткости которой c=392 Н/м. Масляный демпфер вызывает силу сопротивления, пропорциональную первой степени скорости и равную R=-αv, где α=98 Н*с/м. Груз m2 сняли. Найти после этого уравнение движения груза m1.
СМОТРЕТЬ РЕШЕНИЕ

32.70 Статическое удлинение пружины под действием груза веса P равно f. На колеблющийся груз действует сила сопротивления среды, пропорциональная скорости. Определить наименьшее значение коэффициента сопротивления α, при котором процесс движения будет апериодическим. Найти период затухающих колебаний, если коэффициент сопротивления меньше найденного значения.
СМОТРЕТЬ РЕШЕНИЕ

32.71 Груз массы 100 г, подвешенный к концу пружины, движется в жидкости. Коэффициент жесткости пружины c=19,6 Н/м. Сила сопротивления движению пропорциональна первой степени скорости груза: R=αv, где α=3,5 Н*с/м. Найти уравнение движения груза, если в начальный момент груз был смещен из положения равновесия на x0=1 см и отпущен без начальной скорости.
СМОТРЕТЬ РЕШЕНИЕ
32.72 В условиях предыдущей задачи найти уравнение движения груза и построить график зависимости перемещения от времени, если в начальный момент груз смещен из положения статического равновесия на расстояние x0=1 см и ему сообщена начальная скорость 50 см/с в направлении, противоположном смещению.
СМОТРЕТЬ РЕШЕНИЕ

32.73 В условиях задачи 32.71 в начальный момент груз смещен из положения равновесия на расстояние x0=5 см и ему сообщена начальная скорость v0=100 см/с в том же направлении. Найти уравнение движения груза и построить график зависимости перемещения от времени.
СМОТРЕТЬ РЕШЕНИЕ

32.74 Составить дифференциальное уравнение малых колебаний тяжелой точки A, находящейся на конце стержня, закрепленного шарнирно в точке O, считая силу сопротивления среды пропорциональной первой степени скорости с коэффициентом пропорциональности α, и определить частоту затухающих колебаний. Вес точки A равен P, коэффициент жесткости пружины c, длина стержня l, расстояние OB=b. Массой стержня пренебречь. В положении равновесия стержень горизонтален. При каком значении коэффициента α движение будет апериодическим?
СМОТРЕТЬ РЕШЕНИЕ

32.75 При колебаниях груза массы 20 кг, подвешенного на пружине, было замечено, что наибольшее отклонение после 10 полных колебаний уменьшилось вдвое. Груз совершил 10 полных колебаний за 9 c. Как велик коэффициент сопротивления α (при сопротивлении среды, пропорциональном первой степени скорости) и каково значение коэффициента жесткости c?
СМОТРЕТЬ РЕШЕНИЕ

32.76 Составить дифференциальное уравнение малых колебаний точки A и определить частоту затухающих колебаний. Вес точки A равен P, коэффициент жесткости пружины c, расстояние OA=b, OB=l. Сила сопротивления среды пропорциональна первой степени скорости, коэффициент пропорциональности равен α. Массой стержня OB, шарнирно закрепленного в точке O, пренебречь. В положении равновесия стержень горизонтален. При каком значении коэффициента α движение будет апериодическим?
СМОТРЕТЬ РЕШЕНИЕ

32.77 Тело массы 5 кг подвешено к концу пружины жесткости 20 Н/м и помещено в вязкую среду. Период его колебаний в этом случае равен 10 c. Найти постоянную демпфирования, логарифмический декремент колебаний и период свободных колебаний.
СМОТРЕТЬ РЕШЕНИЕ

32.78 Найти уравнение прямолинейного движения точки массы m, находящейся под действием восстанавливающей силы Q=-cx и постоянной силы F0. В начальный момент t=0, x0=0 и x0 =0. Найти также период колебаний.
СМОТРЕТЬ РЕШЕНИЕ

32.79 Определить уравнение прямолинейного движения точки массы m, находящейся под действием восстанавливающей силы Q=-cx и силы F=αt. В начальный момент точка находится в положении статического равновесия и скорость ее равна нулю.
СМОТРЕТЬ РЕШЕНИЕ
32.80 Найти уравнение прямолинейного движения точки массы m, на которую действует восстанавливающая сила Q=-cx и сила F=F0e-?t, если в начальный момент точка находилась в положении равновесия в состоянии покоя.
СМОТРЕТЬ РЕШЕНИЕ

32.81 Ha пружине, коэффициент жесткости которой c=19,6 Н/м, подвешен магнитный стержень массы 100 г. Нижний конец магнита проходит через катушку, по которой идет переменный ток i=20 sin 8?t A. Ток идет с момента времени t=0, втягивая стержень в соленоид; до этого момента магнитный стержень висел на пружине неподвижно. Сила взаимодействия между магнитом и катушкой определяется равенством F=0,016?i Н. Определить вынужденные колебания магнита.
СМОТРЕТЬ РЕШЕНИЕ

32.82 В условиях предыдущей задачи найти уравнение движения магнитного стержня, если его подвесили к концу нерастянутой пружины и отпустили без начальной скорости.
СМОТРЕТЬ РЕШЕНИЕ

32.83 В условиях задачи 32.81 найти уравнение движения магнитного стержня, если ему в положении статического равновесия сообщили начальную скорость v0=5 см/с.
СМОТРЕТЬ РЕШЕНИЕ

32.84 Гиря M подвешена на пружине AB, верхний конец которой совершает гармонические колебания по вертикальной прямой амплитуды a и частоты n, так что O1C=a sin nt см. Определить вынужденные колебания гири M при следующих данных: масса гири равна 400 г, от действия силы 39,2 Н пружина удлиняется на 1 м, a=2 см, n=7 рад/с.
СМОТРЕТЬ РЕШЕНИЕ

32.85 Определить движение гири M (см. задачу 32.84), подвешенной на пружине AB, верхний конец которой A совершает гармонические колебания по вертикали амплитуды a и круговой частоты k, статическое растяжение пружины под действием веса гири равно ?. В начальный момент точка A занимает свое среднее положение, а гиря M находится в покое; начальное положение гири принять за начало координат, а ось Ox направить по вертикали вниз.
СМОТРЕТЬ РЕШЕНИЕ

32.86 Статический прогиб рессор груженого товарного вагона ?lст=5 см. Определить критическую скорость движения вагона, при которой начнется галопирование вагона, если на стыках рельсов вагон испытывает толчки, вызывающие вынужденные колебания вагона на рессорах; длина рельсов L=12 м.
СМОТРЕТЬ РЕШЕНИЕ

32.87 Индикатор машины состоит из цилиндра A, в котором ходит поршень B, упирающийся в пружину D; с поршнем соединен стержень BC, к которому прикреплен пишущий штифт C. Предполагая, что давление пара, выраженное в паскалях, изменяется согласно формуле p = 10^5(4 + 3 sin 2?t/T), где T — время одного оборота вала, определить амплитуду вынужденных колебаний штифта C, если вал совершает 180 об/мин, при следующих данных: площадь поршня индикатора ?=4 см2, масса подвижной части индикатора 1 кг, пружина сжимается на 1 см силой 29,4 Н.
СМОТРЕТЬ РЕШЕНИЕ

32.88 В условиях предыдущей задачи найти уравнение движения штифта C, если в начальный момент система находилась в покое в положении статического равновесия.
СМОТРЕТЬ РЕШЕНИЕ

32.89 Груз массы m=200 г, подвешенный к пружине, коэффициент жесткости которой 9,8 Н/см находится под действием силы S=H sin pt, где H=20 Н, p=50 рад/с. В начальный момент x0=2 см, v0=10 см/с. Начало координат выбрано в положении статического равновесия. Найти уравнение движения груза.
СМОТРЕТЬ РЕШЕНИЕ

32.90 В условиях предыдущей задачи изменилась частота возмущающей силы, получив значение p=70 рад/с. Определить уравнение движения груза.
СМОТРЕТЬ РЕШЕНИЕ

32.91 Груз массы 24,5 кг висит на пружине жесткости 392 Н/м. На груз начинает действовать сила F(t)=156,8 sin 4t Н. Определить закон движения груза.
СМОТРЕТЬ РЕШЕНИЕ

32.92 Груз массы 24,5 кг висит на пружине жесткости 392 Н/м. Определить движение груза, если на него начинает действовать сила F=39,2 cos 6t Н.
СМОТРЕТЬ РЕШЕНИЕ

32.93 Груз на пружине колеблется так, что его движение описывается дифференциальным уравнением mx + cx = 5 cos ?t + 2 cos 3?t. Найти закон движения груза, если в начальный момент его смещение и скорость были равны нулю, а также определить, при каких значениях ? наступит резонанс.
СМОТРЕТЬ РЕШЕНИЕ

32.94 На пружине, коэффициент жесткости которой c=19,6 Н/м, подвешены магнитный стержень массы 50 г, проходящий через соленоид, и медная пластинка массы 50 г, проходящая между полюсами магнита. По соленоиду течет ток i=20 sin 8?t A, который развивает силу взаимодействия с магнитным стержнем 0,016?i Н. Сила торможения медной пластинки вследствие вихревых токов равна kvФ2, где k=0,001, Ф=10v5 Вб и v — скорость пластинки в м/с. Определить вынужденные колебания пластинки.
СМОТРЕТЬ РЕШЕНИЕ

32.95 В условиях предыдущей задачи найти уравнение движения пластинки, если ее подвесили вместе с магнитным стержнем к концу нерастянутой пружины и сообщили им начальную скорость 5 см/с, направленную вниз.
СМОТРЕТЬ РЕШЕНИЕ

32.96 Материальная точка массы m=2 кг подвешена к пружине, коэффициент жесткости которой 4 кН/м. На точку действуют возмущающая сила S=120 sin(pt+?) Н и сила сопротивления движению, пропорциональная первой степени скорости и равная R=0,5v(mc)v Н. Чему равно наибольшее значение Amax амплитуды вынужденных колебаний? При какой частоте p амплитуда вынужденных колебаний достигает наибольшего значения?
СМОТРЕТЬ РЕШЕНИЕ

32.97 В условиях предыдущей задачи найти уравнение движения точки, если в начальный момент времени ее положение и скорость были равны: x0=2 см, v0=3 см/с. Частота возмущающей силы p=30 рад/с, начальная фаза возмущающей силы ?=0. Начало координат выбрано в положении статического равновесия.
СМОТРЕТЬ РЕШЕНИЕ

32.98 Материальная точка массы 3 кг подвешена на пружине с коэффициентом жесткости c=117,6 Н/м. На точку действуют возмущающая сила F=H sin(6,26t+?) Н и сила вязкого сопротивления среды R=-?v (R в Н). Как изменится амплитуда вынужденных колебаний точки, если вследствие изменения температуры вязкость среды (коэффициент ?) увеличится в три раза?
СМОТРЕТЬ РЕШЕНИЕ

32.99 Тело массы 2 кг, прикрепленное пружиной к неподвижной точке A, движется по гладкой наклонной плоскости, образующей угол ? с горизонтом, под действием возмущающей силы S=180 sin 10t Н и силы сопротивления, пропорциональной скорости R=-29,4v (R в Н). Коэффициент жесткости пружины c=5 кН/м. В начальный момент тело находилось в покое в положении статического равновесия. Найти уравнение движения тела, периоды T свободных и T1 вынужденных колебаний, сдвиг фазы вынужденных колебаний и возмущающей силы.
СМОТРЕТЬ РЕШЕНИЕ

32.100 На тело массы 0,4 кг, прикрепленное к пружине с коэффициентом жесткости c=4 кН/м, действуют сила S=40 sin 50t Н и сила сопротивления среды R=-?v, где ?=25 Н*с/м, v — скорость тела (v в м/с). В начальный момент тело покоится в положении статического равновесия. Найти закон движения тела и определить значение частоты возмущающей силы, при котором амплитуда вынужденных колебаний будет максимальной.
СМОТРЕТЬ РЕШЕНИЕ

32.101 На тело массы M кг, прикрепленное к пружине с коэффициентом жесткости c Н/м, действуют возмущающая сила S=H sin pt Н и сила сопротивления R=-?v (R в Н), где v — скорость тела. В начальный момент тело находилось в положении статического равновесия и не имело начальной скорости. Найти уравнение движения тела, если c>?2/(4M).
СМОТРЕТЬ РЕШЕНИЕ

32.102 На тело массы 6 кг, подвешенное к пружине с жесткостью c=17,64 кН/м, действует возмущающая сила P0 sin pt. Сопротивление жидкости пропорционально скорости. Каким должен быть коэффициент сопротивления ? вязкой жидкости, чтобы максимальная амплитуда вынужденных колебаний равнялась утроенному значению статического удлинения пружины? Чему равняется коэффициент расстройки z (отношение круговой частоты вынужденных колебаний к круговой частоте свободных колебаний)? Найти сдвиг фазы вынужденных колебаний и возмущающей силы.
СМОТРЕТЬ РЕШЕНИЕ

32.103 На тело массы 0,1 кг, прикрепленное к пружине с коэффициентом жесткости c=5 кН/м, действует сила S=H sin pt, где H=100 Н, p=100 рад/с, и сила сопротивления R=?v Н, где ?=50 Н*с/м. Написать уравнение вынужденных колебаний и определить значение частоты p, при котором амплитуда вынужденных колебаний будет максимальной.
СМОТРЕТЬ РЕШЕНИЕ

32.104 В условиях предыдущей задачи определить сдвиг фазы вынужденных колебаний и возмущающей силы.
СМОТРЕТЬ РЕШЕНИЕ

32.105 Груз массы 0,2 кг подвешен на пружине, коэффициент жесткости которой равен c=19,6 Н/м. На груз действуют возмущающая сила S=0,2 sin 14t Н и сила сопротивления R=49v Н. Определить сдвиг фаз вынужденных колебаний и возмущающей силы.
СМОТРЕТЬ РЕШЕНИЕ

32.106 В условиях предыдущей задачи найти коэффициент жесткости c1 новой пружины, которой нужно заменить данную пружину, чтобы сдвиг фаз вынужденных колебаний и возмущающей силы стал равным ?/2.
СМОТРЕТЬ РЕШЕНИЕ

32.107 Для уменьшения действия на тело массы m возмущающей силы F=F0 sin(pt+?) устанавливают пружинный амортизатор с жидкостным демпфером. Коэффициент жесткости пружины c. Считая, что сила сопротивления пропорциональна первой степени скорости (Fсопр=?v), найти максимальное динамическое давление всей системы на фундамент при установившихся колебаниях.
СМОТРЕТЬ РЕШЕНИЕ

Относительное движение
33.1 К концу A вертикального упругого стержня AB прикреплен груз C массы 2,5 кг. Груз C, будучи выведен из положения равновесия, совершает гармонические колебания под влиянием силы, пропорциональной расстоянию от положения равновесия. Стержень AB таков, что для отклонения конца его A на 1 см нужно приложить силу 1 Н. Найти амплитуду вынужденных колебаний груза C в том случае, когда точка закрепления стержня B совершает по горизонтальной прямой гармонические колебания амплитуды 1 мм и периода 1,1 c.
СМОТРЕТЬ РЕШЕНИЕ

33.2 Точка привеса математического маятника длины l движется по вертикали равноускоренно. Определить период T малых колебаний маятника в двух случаях: 1) когда ускорение точки привеса направлено вверх и имеет какую угодно величину p; 2) когда это ускорение направлено вниз и величина его p СМОТРЕТЬ РЕШЕНИЕ

33.3 Математический маятник OM длины l в начальный момент отклонен от положения равновесия OA на некоторый угол α и имеет скорость, равную нулю; точка привеса его в этот момент имеет также скорость, равную нулю, но затем опускается с постоянным ускорением p≥g. Определить длину s дуги окружности, описываемой точкой M в относительном движении вокруг точки O.
СМОТРЕТЬ РЕШЕНИЕ

33.4 Железнодорожный поезд идет со скоростью 15 м/с по рельсам, проложенным по меридиану с юга на север. Масса поезда 2000 т. 1) Определить боковое давление поезда на рельсы, если он пересекает в данный момент северную широту 60°. 2) Определить боковое давление поезда на рельсы, если он идет в этом же месте с севера на юг.
СМОТРЕТЬ РЕШЕНИЕ

33.5 Материальная точка свободно падает в северном полушарии с высоты 500 м на Землю. Принимая во внимание вращение Земли вокруг своей оси и пренебрегая сопротивлением воздуха, определить, насколько отклонится на восток точка при падении. Географическая широта места равна 60°.
СМОТРЕТЬ РЕШЕНИЕ

33.6 В вагоне, движущемся по прямому горизонтальному пути, маятник совершает малые гармонические колебания, причем среднее его положение остается отклоненным от вертикали на угол 6°. 1) Определить ускорение w вагона. 2) Найти разность периодов колебаний маятника: T — в случае неподвижного вагона и T1 — в данном случае.
СМОТРЕТЬ РЕШЕНИЕ

33.7 Точка O1 привеса маятника длины l совершает прямолинейные горизонтальные гармонические колебания около неподвижной точки O: OO1=a sin pt. Определить малые колебания маятника, считая, что в момент, равный нулю, φ=0, φ =0.
СМОТРЕТЬ РЕШЕНИЕ

33.8 Точка, находящаяся на широте λ, брошена в западном направлении под углом α к горизонту с начальной скоростью v0. Определить время и дальность полета точки.
СМОТРЕТЬ РЕШЕНИЕ

33.9 Шарик массы m, прикрепленный к концу горизонтальной пружины, коэффициент жесткости которой c, находится в положении равновесия в трубке на расстоянии a от вертикальной оси. Определить относительное движение шарика, если трубка, образующая с осью прямой угол, начинает вращаться вокруг вертикальной оси с постоянной угловой скоростью ω.
СМОТРЕТЬ РЕШЕНИЕ

33.10 Горизонтальная трубка CD равномерно вращается вокруг вертикальной оси AB с угловой скоростью ω. Внутри трубки находится тело M. Определить скорость v тела относительно трубки в момент его вылета, если в начальный момент v=0, x=x0, длина трубки равна L. Трением пренебречь.
СМОТРЕТЬ РЕШЕНИЕ

33.11 В условиях предыдущей задачи определить время движения тела в трубке.
СМОТРЕТЬ РЕШЕНИЕ

33.12 В условиях задачи 33.10 составить дифференциальное уравнение движения тела в трубке, если коэффициент трения скольжения между телом и трубкой равен f.
СМОТРЕТЬ РЕШЕНИЕ

33.13 Кольцо движется по гладкому стержню AB, который равномерно вращается в горизонтальной плоскости вокруг вертикальной оси, проходящей через конец A, делая один оборот в секунду; длина стержня 1 м; в момент t=0 кольцо находилось на расстоянии 60 см от конца A и имело скорость, равную нулю. Определить момент t1, когда кольцо сойдет со стержня.
СМОТРЕТЬ РЕШЕНИЕ

33.14 Трубка AB вращается с постоянной угловой скоростью ω вокруг вертикальной оси CD, составляя с ней неизменный угол 45°. В трубке находится тяжелый шарик M. Определить движение этого шарика относительно трубки, если начальная скорость его равна нулю и начальное расстояние от точки O равно a. Трением пренебречь.
СМОТРЕТЬ РЕШЕНИЕ

33.15 Определить, как меняется ускорение силы тяжести в зависимости от широты места φ вследствие вращения Земли вокруг своей оси. Радиус Земли R=6370 км.
СМОТРЕТЬ РЕШЕНИЕ

33.16 Во сколько раз надо увеличить угловую скорость вращения Земли вокруг своей оси, чтобы тяжелая точка, находящаяся на поверхности Земли на экваторе, не имела бы веса? Радиус Земли R=6370 км.
СМОТРЕТЬ РЕШЕНИЕ

33.17 Артиллерийский снаряд движется по настильной траектории (т. е. по траектории, которую приближенно можно считать горизонтальной прямой). Горизонтальная скорость снаряда во время движения v0=900 м/с. Снаряд должен поразить цель, отстоящую от места выстрела на расстоянии 18 км. Пренебрегая сопротивлением воздуха, определить, насколько отклонится снаряд от цели вследствие вращения Земли. Стрельба происходит на северной широте λ=60°.
СМОТРЕТЬ РЕШЕНИЕ

33.18 Маятник на длинной нити получает небольшую начальную скорость в плоскости север-юг. Считая отклонения маятника малыми по сравнению с длиной нити и принимая во внимание вращение Земли вокруг оси, найти время, по истечении которого плоскость качаний маятника совпадает с плоскостью запад-восток. Маятник расположен на 60° северной широты.
СМОТРЕТЬ РЕШЕНИЕ

33.19 Тяжелая точка может двигаться без трения по вертикальному проволочному кольцу, которое вращается вокруг своего вертикального диаметра с постоянной угловой скоростью ω. Радиус кольца равен R. Найти положение равновесия точки и определить, как будет двигаться точка, если в положении равновесия она получит малую скорость v0 по касательной вверх.
СМОТРЕТЬ РЕШЕНИЕ

33.20 Пружинный вибродатчик используется для измерения вертикального ускорения поезда, круговая частота вертикальных колебаний которого равна 10 рад/с. База прибора составляет одно целое с корпусом одного из вагонов поезда. К базе прибора крепится пружина с коэффициентом жесткости c=17,64 кН/м. К пружине прикреплен груз массы m=1,75 кг. Амплитуда относительного движения груза вибродатчика равна 0,125 см по записи прибора. Найти максимальное вертикальное ускорение поезда. Какова амплитуда вибрации поезда?
СМОТРЕТЬ РЕШЕНИЕ

33.21 Виброметр используется для определения вертикальных колебаний одной из частей машины. В подвижной системе прибора демпфер отсутствует. Относительное смещение датчика виброметра (массивного груза) равно 0,005 см. Собственная частота колебаний виброметра — 6 Гц, частота колебаний вибрирующей части машины — 2 Гц. Чему равны амплитуда колебаний, максимальная скорость и максимальное ускорение вибрирующей части машины?
СМОТРЕТЬ РЕШЕНИЕ

33.22 Груз массы m=1,75 кг подвешен внутри коробки на вертикальной пружине, коэффициент жесткости которой c=0,88 кН/м. Коробка установлена на столе, вибрирующем в вертикальном направлении. Уравнение колебаний стола x=0,225 sin 3t см. Найти абсолютную амплитуду колебаний груза.
СМОТРЕТЬ РЕШЕНИЕ
Геометрия масс: центр масс материальной системы, моменты инерции твердых тел
34.1 Коленчатый вал трехцилиндрового двигателя, изображенный на рисунке, состоит из трех колен, расположенных под углом 120° друг к другу. Определить положение центра масс коленчатого вала, считая, что массы колен сосредоточены в точках A, B и D, причем mA=mB=mD=m, и пренебрегая массами остальных частей вала. Размеры указаны на рисунке.
СМОТРЕТЬ РЕШЕНИЕ

34.2 Найти уравнения движения центра масс шарнирного параллелограмма OABO1, а также уравнение траектории его центра масс при вращении кривошипа OA с постоянной угловой скоростью ω. Звенья параллелограмма — однородные стержни, причем OA=O1B=AB/2=a.
СМОТРЕТЬ РЕШЕНИЕ

34.3 К ползуну I массы M1 посредством тонкой невесомой нити прикреплен груз II массы M2. При колебаниях груза по закону φ=φ0 sin ωt ползун скользит по неподвижной горизонтальной гладкой поверхности. Найти уравнение движения ползуна x1=f(t), считая, что в начальный момент (t=0) ползун находился в начале отсчета O оси x. Длина нити равна l.
СМОТРЕТЬ РЕШЕНИЕ

34.4 Определить положение центра масс центробежного регулятора, изображенного на рисунке, если масса каждого из шаров A и B равна M1, масса муфты D равна M2. Шары A и B считать точечными массами. Массой стержней пренебречь.
СМОТРЕТЬ РЕШЕНИЕ

34.5 Определить траекторию центра масс механизма эллипсографа, состоящего из муфт A и B массы M1 каждая, кривошипа OC массы M2 и линейки AB массы 2M2; дано: OC=AC=CB=l. Считать, что линейка и кривошип представляют однородные стержни, а муфты — точечные массы.
СМОТРЕТЬ РЕШЕНИЕ

34.6 К вертикальному валу AB прикреплены два одинаковых груза E и D с помощью двух перпендикулярных оси AB и притом взаимно перпендикулярных стержней OE=OD=r. Массами стержней и вала пренебречь. Грузы считать точечными массами. Найти положение центра масс C системы, а также центробежные моменты инерции Jxz, Jyz, Jxy.
СМОТРЕТЬ РЕШЕНИЕ

34.7 Вычислить момент инерции стального вала радиуса 5 см и массы 100 кг относительно его образующей. Вал считать однородным сплошным цилиндром.
СМОТРЕТЬ РЕШЕНИЕ

34.8 Вычислить момент инерции тонкого однородного полудиска массы M и радиуса r относительно оси, проходящей вдоль диаметра, ограничивающего полудиск.
СМОТРЕТЬ РЕШЕНИЕ

34.9 Вычислить осевые Jx и Jy моменты инерции изображенной на рисунке однородной прямоугольной пластинки массы M относительно осей x и y.
СМОТРЕТЬ РЕШЕНИЕ

34.10 Вычислить моменты инерции изображенного на рисунке однородного прямоугольного параллелепипеда массы M относительно осей x, y и z.
СМОТРЕТЬ РЕШЕНИЕ

34.11 В тонком однородном круглом диске радиуса R высверлено концентрическое отверстие радиуса r. Вычислить момент инерции этого диска массы M относительно оси z, проходящей через его центр масс перпендикулярно плоскости диска.
СМОТРЕТЬ РЕШЕНИЕ

34.12 Вычислить момент инерции тонкой однородной пластинки массы M, имеющей форму равнобедренного треугольника с высотой h, относительно оси, проходящей через ее центр масс C параллельно основанию.
СМОТРЕТЬ РЕШЕНИЕ

34.13 Однородная металлическая пластинка выполнена в виде равностороннего треугольника. Масса пластинки равна M, l — длина ее стороны. Вычислить момент инерции пластинки относительно оси z, проходящей через ее вершину параллельно основанию.
СМОТРЕТЬ РЕШЕНИЕ

34.14 Однородная равносторонняя треугольная пластина имеет массу M и длину стороны l. Вычислить момент инерции пластины относительно оси z, проходящей через вершину пластины перпендикулярно ее плоскости.
СМОТРЕТЬ РЕШЕНИЕ

34.15 Вычислить моменты инерции относительно трех взаимно перпендикулярных осей x, y и z тонкой однородной эллиптической пластинки массы M, ограниченной контуром x2/a2+y2/b2=1.
СМОТРЕТЬ РЕШЕНИЕ

34.16 Определить момент инерции однородного полого шара массы M относительно оси, проходящей через его центр тяжести. Внешний и внутренний радиусы соответственно равны R и r.
СМОТРЕТЬ РЕШЕНИЕ

34.17 Вычислить момент инерции однородной тонкой оболочки, выполненной в виде полусферы радиуса R, относительно оси, проходящей через центр полусферы перпендикулярно к ограничивающей ее плоскости. Масса M оболочки равномерно распределена по поверхности полусферы.
СМОТРЕТЬ РЕШЕНИЕ

34.18 Вычислить радиус инерции сплошного однородного цилиндра относительно оси z, перпендикулярной оси цилиндра и отстоящей от его центра масс C на расстоянии 10 см, если радиус цилиндра равен 4 см, а высота 40 см.
СМОТРЕТЬ РЕШЕНИЕ

34.19 Маятник состоит из тонкого однородного стержня AB массы M1, к концу которого прикреплен однородный диск C массы M2. Длина стержня равна 4r, где r — радиус диска. Вычислить момент инерции маятника относительно его оси привеса O, перпендикулярной плоскости маятника и отстоящей на расстоянии r от конца стержня.
СМОТРЕТЬ РЕШЕНИЕ

34.20 Тонкий однородный стержень AB длины 2l и массы M прикреплен в центре O к вертикальной оси, образуя с ней угол α. Вычислить моменты инерции стержня Jx, Jy и центробежный момент инерции Jxy. Оси координат показаны на рисунке.
СМОТРЕТЬ РЕШЕНИЕ

34.21 Однородный круглый диск массы M и радиуса r прикреплен к оси AB, отстоящей от центра масс C на расстоянии OC=r/2. Вычислить осевые и центробежные моменты инерции диска.
СМОТРЕТЬ РЕШЕНИЕ

34.22 Вычислить момент инерции однородной треугольной пластинки ABC массы M относительно оси x, проходящей через его вершину A в плоскости пластинки, если даны расстояния от точек B и C до оси x; BM=hB, CN=hC.
СМОТРЕТЬ РЕШЕНИЕ

34.23 По данным задачи 34.1 определить центробежные моменты инерции Jxz, Jyz, Jxy коленчатого вала.
СМОТРЕТЬ РЕШЕНИЕ

34.24 Однородный круглый диск массы M эксцентрично насажен на ось z, перпендикулярную его плоскости. Радиус диска равен r, эксцентриситет OC=a, где C — центр масс диска. Вычислить осевые Jx, Jy, Jz и центробежные Jxy, Jxz, Jyz моменты инерции диска. Оси координат показаны на рисунке.
СМОТРЕТЬ РЕШЕНИЕ

34.25 По данным задачи 34.24 вычислить момент инерции диска относительно оси z1, лежащей в вертикальной плоскости xz и образующей с осью z угол φ.
СМОТРЕТЬ РЕШЕНИЕ

34.26 Однородный круглый диск массы M насажен на ось z, проходящую через его центр масс C. Ось симметрии диска z1 лежит в вертикальной плоскости симметрии xz и образует с осью z угол α. Радиус диска равен r. Вычислить центробежные моменты инерции диска Jxz, Jyz, Jxy (оси координат показаны на рисунке).
СМОТРЕТЬ РЕШЕНИЕ

34.27 Решить предыдущую задачу в предположении, что диск эксцентрично насажен на ось z, причем эксцентриситет OC=a.
СМОТРЕТЬ РЕШЕНИЕ

34.28 Однородный круглый диск радиуса R насажен на ось вращения z, проходящую через точку O и составляющую с осью симметрии диска Cz1 угол α. Масса диска равна M. Определить момент инерции Jz диска относительно оси вращения z и центробежные моменты инерции Jxz и Jyz, если OL — проекция оси z на плоскость диска, OE=a, OK=b.
СМОТРЕТЬ РЕШЕНИЕ

34.29 Однородная прямоугольная пластинка OABD массы M со сторонами a и b прикреплена стороной OA к оси OE. Вычислить центробежные моменты инерции пластинки Jxz, Jyz и Jxy.
СМОТРЕТЬ РЕШЕНИЕ

34.30 Однородная прямоугольная пластинка массы M со сторонами длины a и b прикреплена к оси z, проходящей через одну из ее диагоналей. Вычислить центробежный момент инерции Jyz пластинки относительно осей y и z, лежащих вместе с пластинкой в плоскости рисунка. Начало координат совмещено с центром масс пластинки.
СМОТРЕТЬ РЕШЕНИЕ

34.31 Вращающаяся часть подъемного крана состоит из стрелы CD длины L и массы M1, противовеса E массы M2 и груза K массы M3. Рассматривая стрелу как однородную тонкую балку, а противовес E и круг K как точечные массы, определить момент инерции Jz крана относительно вертикальной оси вращения z и центробежные моменты инерции относительно осей координат x, y, z, связанных с краном. Центр масс всей системы находится на оси z; стрела CD расположена в плоскости yz.
СМОТРЕТЬ РЕШЕНИЕ