Решение задач » Решебники онлайн » Решебники по теоретической механике онлайн » Решебник Мещерский онлайн (ГДЗ Мещерский 1986 г, решение задач)
Решебник Мещерский онлайн

Теорема о движении центра масс материальной системы
35.1 Определить главный вектор внешних сил, действующих на маховик M, вращающийся вокруг оси AB. Ось AB, укрепленная в круговой раме, в свою очередь вращается вокруг оси DE. Центр масс C маховика находится в точке пересечения осей AB и DE.
СМОТРЕТЬ РЕШЕНИЕ

35.2 Определить главный вектор внешних сил, приложенных к линейке AB эллипсографа, изображенного на рисунке. Кривошип OC вращается с постоянной угловой скоростью ω; масса линейки AB равна M; OC=AC=BC=l.
СМОТРЕТЬ РЕШЕНИЕ

35.3 Определить главный вектор внешних сил, действующих на колесо массы M, скатывающееся с наклонной плоскости вниз, если его центр масс C движется по закону xC=at2/2.
СМОТРЕТЬ РЕШЕНИЕ

35.4 Колесо катится со скольжением по горизонтальной прямой под действием силы F, изображенной на рисунке. Найти закон движения центра масс C колеса, если коэффициент трения скольжения равен f, a F=5fP, где P — вес колеса. В начальный момент колесо находилось в покое.
СМОТРЕТЬ РЕШЕНИЕ

35.5 Колесо катится со скольжением по горизонтальной прямой под действием приложенного к нему вращающего момента. Найти закон движения центра масс C колеса, если коэффициент трения скольжения равен f. В начальный момент колесо находилось в покое.
СМОТРЕТЬ РЕШЕНИЕ

35.6 Вагон трамвая совершает вертикальные гармонические колебания на рессорах амплитуды 2,5 см и периода T=0,5 c. Масса кузова с нагрузкой 10 т, масса тележки и колес 1 т. Определить силу давления вагона на рельсы.
СМОТРЕТЬ РЕШЕНИЕ

35.7 Определить силу давления на грунт насоса для откачки воды при его работе вхолостую, если масса неподвижных частей корпуса D и фундамента E равна M1, масса кривошипа OA=a равна M2, масса кулисы B и поршня C равна M3. Кривошип OA, вращающийся равномерно с угловой скоростью ω, считать однородным стержнем.
СМОТРЕТЬ РЕШЕНИЕ

35.8 Использовав данные предыдущей задачи, считать, что насос установлен на упругом основании, коэффициент упругости которого равен c. Найти закон движения оси O кривошипа OA по вертикали, если в начальный момент ось O находилась в положении статического равновесия и ей была сообщена по вертикали вниз скорость v0. Взять начало отсчета оси x, направленной вертикально вниз, в положении статического равновесия оси O. Силами сопротивления пренебречь.
СМОТРЕТЬ РЕШЕНИЕ

35.9 Ножницы для резки металла состоят из кривошипно-ползунного механизма OAB, к ползуну B которого прикреплен подвижный нож. Неподвижный нож укреплен на фундаменте C. Определить давление фундамента на грунт, если длина кривошипа r, масса кривошипа M1, длина шатуна l, масса ползуна B с подвижным ножом M2, масса фундамента C и корпуса D равна M3. Массой шатуна пренебречь. Кривошип OA, равномерно вращающийся с угловой скоростью ω, считать однородным стержнем.
СМОТРЕТЬ РЕШЕНИЕ

35.10 Электрический мотор массы M1 установлен без креплений на гладком горизонтальном фундаменте; на валу мотора под прямым углом закреплен одним концом однородный стержень длины 2l и массы M2, на другой конец стержня насажен точечный груз массы M3; угловая скорость вала равна ω. Определить: 1) горизонтальное движение мотора; 2) наибольшее горизонтальное усилие R, действующее на болты, если ими будет закреплен кожух электромотора на фундаменте.
СМОТРЕТЬ РЕШЕНИЕ

35.11 По условиям предыдущей задачи вычислить ту угловую скорость ω вала электромотора, при которой электромотор будет подпрыгивать над фундаментом, не будучи к нему прикреплен болтами.
СМОТРЕТЬ РЕШЕНИЕ

35.12 При сборке электромотора его ротор B был эксцентрично насажен на ось вращения C1 на расстоянии C1C2=a, где C1 — центр масс статора A, а C2 — центр масс ротора B. Ротор равномерно вращается с угловой скоростью ω. Электромотор установлен посередине упругой балки, статический прогиб которой равен Δ; M1 — масса статора, M2 — масса ротора. Найти уравнение движения точки C1 по вертикали, если в начальный момент она находилась в покое в положении статического равновесия. Силами сопротивления пренебречь. Начало отсчета оси x взять в положении статического равновесия точки C1.
СМОТРЕТЬ РЕШЕНИЕ

35.13 Электрический мотор массы M1 установлен на балке, жесткость которой равна c. На вал мотора насажен груз массы M2 на расстоянии l от оси вала. Угловая скорость мотора ω=const. Определить амплитуду вынужденных колебаний мотора и критическое число его оборотов в минуту, пренебрегая массой балки и сопротивлением движению.
СМОТРЕТЬ РЕШЕНИЕ

35.14 На рисунке изображена крановая тележка A массы M1, которая заторможена посередине балки BD. В центре масс C1 тележки подвешен трос длины l с привязанным к нему грузом C2 массы M2. Трос с грузом совершает гармонические колебания в вертикальной плоскости. Определить: 1) суммарную вертикальную реакцию балки BD, считая ее жесткой; 2) закон движения точки C1 в вертикальном направлении, считая балку упругой с коэффициентом упругости, равным c. В начальный момент балка, будучи недеформированной, находилась в покое в горизонтальном положении. Считая колебания троса малыми, принять: sin φ≈φ, cos φ≈1. Начало отсчета оси y взять в положении статического равновесия точки C1. Массой троса и размерами тележки по сравнению с длиной балки пренебречь.
СМОТРЕТЬ РЕШЕНИЕ

35.15 Сохранив данные предыдущей задачи и считая балку BD жесткой, определить: 1) суммарную горизонтальную реакцию рельсов; 2) в предположении, что тележка не заторможена, закон движения центра масс C1 тележки A вдоль оси x. В начальный момент точка C1 находилась в покое в начале отсчета оси x. Трос совершает колебания по закону φ=φ0 cos ωt.
СМОТРЕТЬ РЕШЕНИЕ

35.16 На средней скамейке лодки, находившейся в покое, сидели два человека. Один из них, массы M1=50 кг, переместился вправо на нос лодки. В каком направлении и на какое расстояние должен переместиться второй человек массы M2=70 кг для того, чтобы лодка осталась в покое? Длина лодки 4 м. Сопротивлением воды движению лодки пренебречь.
СМОТРЕТЬ РЕШЕНИЕ

35.17 На однородную призму A, лежащую на горизонтальной плоскости, положена однородная призма B; поперечные сечения призм — прямоугольные треугольники, масса призмы A втрое больше массы призмы B. Предполагая, что призмы и горизонтальная плоскость идеально гладкие, определить длину l, на которую передвинется призма A, когда призма B, спускаясь по A, дойдет до горизонтальной плоскости.
СМОТРЕТЬ РЕШЕНИЕ

35.18 По горизонтальной товарной платформе длины 6 м и массы 2700 кг, находившейся в начальный момент в покое, двое рабочих перекатывают тяжелую отливку из левого конца платформы в правый. В какую сторону и насколько переместится при этом платформа, если общая масса груза и рабочих равна 1800 кг? Силами сопротивления движению платформы пренебречь.
СМОТРЕТЬ РЕШЕНИЕ

35.19 Два груза M1 и M2, соответственно массы M1 и M2, соединенные нерастяжимой нитью, переброшенной через блок A, скользят по гладким боковым сторонам прямоугольного клина, опирающегося основанием BC на гладкую горизонтальную плоскость. Найти перемещение клина по горизонтальной плоскости при опускании груза M1 на высоту h=10 см. Масса клина M=4M1=16M2; массой нити и блока пренебречь.
СМОТРЕТЬ РЕШЕНИЕ

35.20 Три груза массы M1=20 кг, M2=15 кг и M3=10 кг соединены нерастяжимой нитью, переброшенной через неподвижные блоки L и N. При опускании груза M1 вниз груз M2 перемещается по верхнему основанию четырехугольной усеченной пирамиды ABCD массы M=100 кг вправо, а груз M3 поднимается по боковой грани AB вверх. Пренебрегая трением между усеченной пирамидой ABCD и полом, определить перемещение усеченной пирамиды ABCD относительно пола, если груз M1 опустится вниз на 1 м. Массой нити пренебречь.
СМОТРЕТЬ РЕШЕНИЕ

35.21 Подвижной поворотный кран для ремонта уличной электросети установлен на автомашине массы 1 т. Люлька K крана, укрепленная на стержне L, может поворачиваться вокруг горизонтальной оси O, перпендикулярной плоскости рисунка. В начальный момент кран, занимавший горизонтальное положение, и автомашина находились в покое. Определить перемещение незаторможенной автомашины, если кран повернулся на 60°. Масса однородного стержня L длины 3 м равна 100 кг, а люльки K — 200 кг. Центр масс C люльки K отстоит от оси O на расстоянии OC=3,5 м. Сопротивлением движению пренебречь.
СМОТРЕТЬ РЕШЕНИЕ
Теорема об изменении главного вектора количеств движения материальной системы. Приложение к сплошным средам
36.1 Определить главный вектор количеств движения работающего редуктора скоростей, изображенного на рисунке, если центры тяжести каждого из четырех вращающихся зубчатых колес лежат на осях вращения.
СМОТРЕТЬ РЕШЕНИЕ

36.2 Определить сумму импульсов внешних сил, приложенных к редуктору, рассмотренному в предыдущей задаче, за произвольный конечный промежуток времени.
СМОТРЕТЬ РЕШЕНИЕ

36.3 Определить главный вектор количеств движения маятника, состоящего из однородного стержня OA массы M1, длины 4r и однородного диска B массы M2, радиуса r, если угловая скорость маятника в данный момент равна ω.
СМОТРЕТЬ РЕШЕНИЕ

36.4 Определить модуль и направление главного вектора количеств движения механизма эллипсографа, если масса кривошипа равна M1, масса линейки AB эллипсографа равна 2M1, масса каждой из муфт A и B равна M2; даны размеры: OC=AC=CB=l. Центры масс кривошипа и линейки расположены в их серединах. Кривошип вращается с угловой скоростью ω.
СМОТРЕТЬ РЕШЕНИЕ

36.5 Определить главный вектор количеств движения центробежного регулятора, ускоренно вращающегося вокруг вертикальной оси. При этом углы φ изменяются по закону φ=φ(t) и верхние стержни, поворачиваясь, поднимают шары A и B. Длины стержней: OA=OB=AD=BD=l. Центр масс муфты D массы M2 лежит на оси z. Шары A и B считать точечными массами массы M1 каждый. Массой стержней пренебречь.
СМОТРЕТЬ РЕШЕНИЕ

36.6 В механизме, изображенном на рисунке, движущееся колесо радиуса r имеет массу M, причем центр масс колеса находится в точке O1; центр масс прямолинейного стержня AB массы kM находится в его середине. Кривошип OO1 вращается вокруг оси O с постоянной угловой скоростью ω. Определить главный вектор количеств движения системы, пренебрегая массой кривошипа.
СМОТРЕТЬ РЕШЕНИЕ

36.7 Масса ствола орудия равна 11 т. Масса снаряда равна 54 кг. Скорость снаряда у дульного среза v0=900 м/с. Определить скорость свободного отката ствола орудия в момент вылета снаряда.
СМОТРЕТЬ РЕШЕНИЕ

36.8 Граната массы 12 кг, летевшая со скоростью 15 м/с, разорвалась в воздухе на две части. Скорость осколка массы 8 кг возросла в направлении движения до 25 м/с. Определить скорость второго осколка.
СМОТРЕТЬ РЕШЕНИЕ

36.9 По горизонтальной платформе A, движущейся по инерции со скоростью v0, перемещается тележка B с постоянной относительной скоростью u0. В некоторый момент времени тележка была заторможена. Определить общую скорость v платформы с тележкой после ее остановки, если M — масса платформы, а m — масса тележки.
СМОТРЕТЬ РЕШЕНИЕ

36.10 Сохранив условие предыдущей задачи, определить путь s, который пройдет тележка B по платформе A с момента начала торможения до полной остановки, и время торможения τ, если считать, что при торможении возникает постоянная по величине сила сопротивления F. Указание. В дифференциальном уравнении движения тележки использовать соотношение Mv+m(u+v)=const, где u и v — переменные скорости.
СМОТРЕТЬ РЕШЕНИЕ

36.11 Из наконечника пожарного рукава с поперечным сечением 16 см2 бьет струя воды под углом α=30° к горизонту со скоростью 8 м/с. Определить силу давления струи на вертикальную стену, пренебрегая действием силы тяжести на форму струи и считая, что частицы жидкости после встречи со стеною приобретут скорости, направленные вдоль стены.
СМОТРЕТЬ РЕШЕНИЕ

36.12 Определить горизонтальную составляющую N возникающей при движении воды силы давления на опору колена трубы диаметра d=300 мм, по которой течет вода со скоростью v=2 м/с.
СМОТРЕТЬ РЕШЕНИЕ

36.13 Вода входит в неподвижный канал переменного сечения, симметричный относительно вертикальной плоскости, со скоростью v0=2 м/с под углом α0=90° к горизонту; сечение канала при входе 0,02 м2; скорость воды у выхода из канала v1=4 м/с и направлена под углом α1=30° к горизонту. Определить модуль горизонтальной составляющей силы, с которой вода действует на стенки канала.
СМОТРЕТЬ РЕШЕНИЕ

36.14 Определить модуль горизонтальной составляющей силы давления струи воды на неподвижную лопатку турбинного колеса, если объемный расход воды Q, плотность γ, скорость подачи воды на лопатку v1 горизонтальна, скорость схода воды v2 образует угол α с горизонтом.
СМОТРЕТЬ РЕШЕНИЕ
Теорема об изменении главного момента количеств движения материальной системы. Дифференциальное уравнение вращения твердого тела вокруг неподвижной оси
37.1 Однородный круглый диск массы M=50 кг и радиуса R=30 см катится без скольжения по горизонтальной плоскости, делая вокруг своей оси 60 об/мин. Вычислить главный момент количеств движения диска относительно осей: 1) проходящей через центр диска перпендикулярно плоскости движения; 2) относительно мгновенной оси.
СМОТРЕТЬ РЕШЕНИЕ

37.2 Вычислить главный момент количеств движения линейки AB эллипсографа в абсолютном движении относительно оси z, совпадающей с осью вращения кривошипа OC, а также в относительном движении по отношению к оси, проходящей через центр масс C линейки параллельно оси z. Кривошип вращается с угловой скоростью, проекция которой на ось z равна ωz; масса линейки равна m; OC=AC=BC=l (см. рисунок к задаче 34.5).
СМОТРЕТЬ РЕШЕНИЕ

37.3 Вычислить главный момент количеств движения планетарной передачи относительно неподвижной оси z, совпадающей с осью вращения кривошипа OC3. Неподвижное колесо 1 и подвижное колесо 3 — одинакового радиуса r. Масса колеса 3 равна m. Колесо 2 массы m2 имеет радиус r2. Кривошип вращается с угловой скоростью, проекция которой на ось z равна ωz. Массой кривошипа пренебречь. Колеса считать однородными дисками.
СМОТРЕТЬ РЕШЕНИЕ

37.4 Натяжения ведущей и ведомой ветвей ремня, приводящего во вращение шкив радиуса r=20 см, массы M=3,27 кг, соответственно равны: T1=100 Н, T2=50 Н. Чему должен быть равен момент сил сопротивления для того, чтобы шкив вращался с угловым ускорением ε=1,5 рад/с2? Шкив считать однородным диском.
СМОТРЕТЬ РЕШЕНИЕ

37.5 Для определения момента трения в цапфах на вал насажен маховик массы 500 кг; радиус инерции маховика ρ=1,5 м. Маховику сообщена угловая скорость, соответствующая n=240 об/мин; предоставленный самому себе, он остановился через 10 мин. Определить момент трения, считая его постоянным.
СМОТРЕТЬ РЕШЕНИЕ

37.6 Для быстрого торможения больших маховиков применяется электрический тормоз, состоящий из двух диаметрально расположенных полюсов, несущий на себе обмотку, питаемую постоянным током. Токи, индуцируемые в массе маховика при его движении мимо полюсов, создают тормозящий момент M1, пропорциональный скорости v на ободе маховика: M1=kv, где k — коэффициент, зависящий от магнитного потока и размеров маховика. Момент M2 от трения в подшипниках можно считать постоянным; диаметр маховика D, момент инерции его относительно оси вращения J. Найти, через какой промежуток времени остановится маховик, вращающийся с угловой скоростью ω0.
СМОТРЕТЬ РЕШЕНИЕ

37.7 Твердое тело, находившееся в покое, приводится во вращение вокруг неподвижной вертикальной оси постоянным моментом, равным M: при этом возникает момент сил сопротивления M1, пропорциональный квадрату угловой скорости вращения твердого тела: M1=αω2. Найти закон изменения угловой скорости; момент инерции твердого тела относительно оси вращения равен J.
СМОТРЕТЬ РЕШЕНИЕ

37.8 Решить предыдущую задачу в предположении, что момент сил сопротивления M1 пропорционален угловой скорости вращения твердого тела: M1=αω.
СМОТРЕТЬ РЕШЕНИЕ

37.9 Шарик A, находящийся в сосуде с жидкостью и прикрепленный к концу стержня AB длины l, приводится во вращение вокруг вертикальной оси O1O2 с начальной угловой скоростью ω0. Сила сопротивления жидкости пропорциональна угловой скорости вращения: R=αmω, где m — масса шарика, α — коэффициент пропорциональности. Определить, через какой промежуток времени угловая скорость вращения станет в два раза меньше начальной, а также число оборотов n, которое сделает стержень с шариком за этот промежуток времени. Массу шарика считать сосредоточенной в его центре, массой стержня пренебречь.
СМОТРЕТЬ РЕШЕНИЕ

37.10 Определить, с какой угловой скоростью ω упадет на землю спиленное дерево массы M, если его центр масс C расположен на расстоянии h от основания, а силы сопротивления воздуха создают момент сопротивления mс, причем mсz=-αφ2, где α=const. Момент инерции дерева относительно оси z, совпадающей с осью, вокруг которой поворачивается дерево при падении, равен J.
СМОТРЕТЬ РЕШЕНИЕ

37.11 Вал радиуса r приводится во вращательное движение вокруг горизонтальной оси гирей, подвешенной посредством троса. Для того чтобы угловая скорость вала через некоторое время после начала движения имела величину, близкую к постоянной, с валом соединены n одинаковых пластин; сопротивление воздуха, испытываемое пластиной, приводится к силе, нормальной к пластине, приложенной на расстоянии R от оси вала и пропорциональной квадрату ее угловой скорости, причем коэффициент пропорциональности равен k. Масса гири m, момент инерции всех вращающихся частей относительно оси вращения равен J; массой троса и трением в опорах пренебречь. Определить угловую скорость ω вала, предполагая, что в начальный момент она равна нулю.
СМОТРЕТЬ РЕШЕНИЕ

37.12 Упругую проволоку, на которой подвешен однородный шар с радиусом r и массой m, закручивают на угол φ0, а затем предоставляют ей свободно раскручиваться. Момент, необходимый для закручивания проволоки на один радиан, равен c. Определить движение, пренебрегая сопротивлением воздуха и считая момент силы упругости закрученной проволоки пропорциональным углу кручения φ.
СМОТРЕТЬ РЕШЕНИЕ

37.13 Часовой балансир A может вращаться вокруг оси, перпендикулярной его плоскости и проходящей через центр тяжести O, имея относительно этой оси момент инерции J. Балансир приводится в движение спиральной пружиной, один конец которой с ним скреплен, а другой присоединен к неподвижному корпусу часов. При повороте балансира возникает момент сил упругости пружины, пропорциональный углу поворота. Момент, необходимый для закручивания пружины на один радиан, равен c. Определить закон движения балансира, если в начальный момент в условиях отсутствия сил упругости балансиру сообщили начальную угловую скорость ω0.
СМОТРЕТЬ РЕШЕНИЕ

37.14 Для определения момента инерции Jz тела A относительно вертикальной оси Oz его прикрепили к упругому вертикальному стержню OO1, закрутили этот стержень, повернув тело A вокруг оси Oz на малый угол φ0, и отпустили; период возникших колебаний оказался равным T1, момент сил упругости относительно оси Oz равен mz=-cφ. Для определения коэффициента c проделали второй опыт: на стержень в точке O был надет однородный круглый диск радиуса r массы M, и тогда период колебаний оказался равным T2. Определить момент инерции тела Jz.
СМОТРЕТЬ РЕШЕНИЕ

37.15 Решить предыдущую задачу в предположении, что для определения коэффициента c второй опыт проделывают иначе: однородный круглый диск массы M и радиуса r прикрепляется к телу, момент инерции которого требуется определить. Найти момент инерции тела Jz, если период колебаний тела τ1, а период колебаний тела с прикрепленным к нему диском τ2.
СМОТРЕТЬ РЕШЕНИЕ

37.16 Бифилярный подвес состоит из однородного стержня AB длины 2a, подвешенного горизонтально посредством двух вертикальных нитей длины l, отстоящих друг от друга на расстоянии 2b. Определить период крутильных колебаний стержня, полагая, что стержень в течение всего времени движения остается в горизонтальном положении и натяжение каждой из нитей равно половине веса стержня.
СМОТРЕТЬ РЕШЕНИЕ

37.17 Диск, подвешенный к упругой проволоке, совершает крутильные колебания в жидкости. Момент инерции диска относительно оси проволоки равен J. Момент, необходимый для закручивания проволоки на один радиан, равен c. Момент сопротивления движению равен αSω, где α — коэффициент вязкости жидкости, S — сумма площадей верхнего и нижнего оснований диска, ω — угловая скорость диска. Определить период колебаний диска в жидкости.
СМОТРЕТЬ РЕШЕНИЕ

37.18 Твердое тело, подвешенное на упругой проволоке, совершает крутильные колебания под действием внешнего момента mв, причем mвz=m1sin ωt+m3sin Зωt, где m1, m3 и ω — постоянные, а z — ось, направленная вдоль проволоки. Момент сил упругости проволоки равен mупр, причем mупр z=-cφ, где c — коэффициент упругости, а φ — угол закручивания. Определить закон вынужденных крутильных колебаний твердого тела, если его момент инерции относительно оси z равен Jz. Силами сопротивления движению пренебречь. Считать, что √(c/Jz)≠ω и √(c/Jz)≠3ω.
СМОТРЕТЬ РЕШЕНИЕ

37.19 Решить предыдущую задачу с учетом момента сил сопротивления mс, пропорционального угловой скорости твердого тела, причем mсz=-βφ , где β — постоянный коэффициент.
СМОТРЕТЬ РЕШЕНИЕ

37.20 Диск D, радиус которого равен R, а масса — М, подвешен на упругом стержне AB, имеющем жесткость на кручение c. Конец стержня B вращается по закону φB=ω0t+Ф sin pt, где ω0, Ф, p — постоянные величины. Пренебрегая силами сопротивления, определить движение диска D: 1) при отсутствии резонанса, 2) при резонансе. В начальный момент диск был неподвижен, а стержень — недеформирован.
СМОТРЕТЬ РЕШЕНИЕ

37.21 Твердое тело, подвешенное к упругой проволоке, совершает крутильные колебания в жидкости. Момент инерции тела относительно оси проволоки z равен Jz. Момент сил упругости проволоки mупр z=-cφ, где c — коэффициент упругости, а φ — угол закручивания; момент сопротивления движению mсz=-βφ , где φ — угловая скорость твердого тела, а β>0. В начальный момент твердое тело было закручено на угол φ0 и отпущено без начальной скорости. Найти уравнение движения твердого тела, если β/(2Jz)<√(c/Jz).
СМОТРЕТЬ РЕШЕНИЕ

37.22 Однородный круглый диск массы M и радиуса R, подвешенный к упругой проволоке, может совершать крутильные колебания в жидкости. Момент сил упругости проволоки mупр z=-cφ, где ось z проведена вдоль проволоки, c — коэффициент упругости, а φ — угол закручивания; момент сопротивления движению mсz=-βφ , где φ — угловая скорость твердого тела, а β>0. В начальный момент диск был закручен на угол φ0 и отпущен без начальной скорости. Найти уравнение движения диска, если: 1) β/(MR2) = √(2c/(MR2)), 2) β/(MR2) > √(2c/(MR2)).
СМОТРЕТЬ РЕШЕНИЕ

37.23 Твердое тело, подвешенное на упругой проволоке, совершает крутильные колебания под действием внешнего момента mвz=m0 cos pt, где m0 и p — положительные постоянные, а z — ось, направленная вдоль проволоки. Момент сил упругости проволоки mупр z=-cφ, где c — коэффициент упругости, а φ — угол закручивания. Момент инерции твердого тела относительно оси z равен Jz. Силами сопротивления движению пренебречь. Определить уравнение движения твердого тела в случаях: 1) √(c/Jz)≠p, 2) √(c/Jz)=p, если в начальный момент при ненапряженной проволоке твердому телу была сообщена угловая скорость ω0.
СМОТРЕТЬ РЕШЕНИЕ

37.24 Однородный круглый диск массы M и радиуса R, подвешенный на упругой проволоке, совершает резонансные крутильные колебания в жидкости под действием внешнего момента mвz=m0 sin pt, где m0 и p — положительные постоянные, а z — ось, направленная вдоль проволоки; момент сил упругости проволоки mупр z=-cφ, где c — коэффициент упругости, а φ — угол закручивания; момент сопротивления движению mсz=-βφ , где φ — угловая скорость диска, а β>0. Найти уравнение вынужденных резонансных колебаний диска.
СМОТРЕТЬ РЕШЕНИЕ

37.25 Для определения коэффициента вязкости жидкости наблюдают колебания диска, подвешенного к упругой проволоке в жидкости. К диску приложен внешний момент, равный M0 sin pt (M0=const), при котором наблюдается явление резонанса. Момент сопротивления движению диска в жидкости равен αSω, где α — коэффициент вязкости жидкости, S — сумма площадей верхнего и нижнего оснований диска, ω — угловая скорость диска. Определить коэффициент α вязкости жидкости, если амплитуда вынужденных колебаний диска при резонансе равна φ0.
СМОТРЕТЬ РЕШЕНИЕ

37.26 При полете снаряда вращение его вокруг оси симметрии замедляется действием момента силы сопротивления воздуха, равного kω, где ω — угловая скорость вращения снаряда, k — постоянный коэффициент пропорциональности. Определить закон убывания угловой скорости, если начальная угловая скорость равна ω0, а момент инерции снаряда относительно оси симметрии равен J.
СМОТРЕТЬ РЕШЕНИЕ

37.27 Для определения ускорения силы тяжести пользуются оборотным маятником, который представляет собой стержень, снабженный двумя трехгранными ножами A и B. Один из ножей неподвижен, а второй может перемещаться вдоль стержня. Подвешивая стержень то на один, то на другой нож и меняя расстояние AB между ними, можно добиться равенства периодов качаний маятника вокруг каждого из ножей. Чему равно ускорение силы тяжести, если расстояние между ножами, при котором периоды качаний маятника равны, AB=l, а период качаний равен T?
СМОТРЕТЬ РЕШЕНИЕ

37.28 Два твердых тела могут качаться вокруг одной и той же горизонтальной оси как отдельно друг от друга, так и скрепленные вместе. Определить приведенную длину сложного маятника, если массы твердых тел M1 и M2, расстояния от их центров тяжести до общей оси вращения a1 и a2, а приведенные длины при отдельном качании каждого l1 и l2.
СМОТРЕТЬ РЕШЕНИЕ

37.29 Часть прибора представляет собой однородный стержень длины L, свободно подвешенный одним концом на горизонтальной оси O. Для регистрации качаний стержня к его нижнему концу приклеивается небольшое зеркало массы m. При этом, чтобы частота колебаний стержня не изменилась, на нем в другом месте укрепляется груз A. Рассматривая зеркало и груз как материальные точки, найти минимальную массу, которую должен иметь груз A. На каком расстоянии от оси O его следует прикрепить?
СМОТРЕТЬ РЕШЕНИЕ

37.30 Для регулирования хода часов к маятнику массы M1, приведенной длины l с расстоянием a от его центра тяжести до оси подвеса прикрепляют добавочный груз массы M2 на расстоянии x от оси подвеса. Принимая добавочный груз за материальную точку, определить изменение Δl приведенной длины маятника при данных значениях M2 и x и значение x=x1, при котором заданное изменение Δl приведенной длины маятника достигается при помощи добавочного груза наименьшей массы.
СМОТРЕТЬ РЕШЕНИЕ

37.31 Для определения момента инерции J данного тела относительно некоторой оси AB, проходящей через центр масс G тела, его подвесили жестко скрепленными с ним стержнями AD и BE, свободно насаженными на неподвижную горизонтальную ось DE, так, что ось AB параллельна DE; приведя затем тело в колебательное движение, определили продолжительность T одного размаха. Как велик момент инерции J, если масса тела M и расстояние между осями AB и DE равно h? Массами стержней пренебречь.
СМОТРЕТЬ РЕШЕНИЕ

37.32 Решить предыдущую задачу с учетом массы тонких однородных прямолинейных стержней AD и BE, если масса каждого из них равна M1.
СМОТРЕТЬ РЕШЕНИЕ

37.33 Для определения момента инерции шатуна его заставляют качаться вокруг горизонтальной оси, продев через втулку цапфы крейцкопфа тонкий цилиндрический стержень. Продолжительность ста размахов 100T=100 c, где T — половина периода. Затем для определения расстояния AC=h центра масс C от центра A отверстия шатун положили горизонтально, подвесив его в точке A к талям и оперев точкой B на платформу десятичных весов; давление на нее оказалось при этом равным P. Определить центральный момент инерции J шатуна относительно оси, перпендикулярной плоскости рисунка, имея следующие данные: масса шатуна M, расстояние между вертикалями, проведенными через точки A и B (см. правый рисунок) равно l, радиус цапфы крейцкопфа r.
СМОТРЕТЬ РЕШЕНИЕ

37.34 Маятник состоит из стержня AB с прикрепленным к нему шаром массы m и радиуса r, центр которого C находится на продолжении стержня. Определить, пренебрегая массой стержня, в какой точке стержня нужно поместить ось подвеса для того, чтобы продолжительность одного размаха при малых качаниях имела данную величину T.
СМОТРЕТЬ РЕШЕНИЕ

37.35 На каком расстоянии от центра масс должен быть подвешен физический маятник, чтобы период его качаний был наименьшим?
СМОТРЕТЬ РЕШЕНИЕ

37.36 Маятник состоит из стержня с двумя закрепленными на нем грузами, расстояние между которыми равно l; верхний груз имеет массу m1, нижний — массу m2. Определить, на каком расстоянии x от нижнего груза нужно поместить ось подвеса для того, чтобы период малых качаний маятника был наименьшим; массой стержня пренебречь и грузы считать материальными точками.
СМОТРЕТЬ РЕШЕНИЕ

37.37 На каком расстоянии от оси подвеса должен быть присоединен к физическому маятнику добавочный груз, чтобы период качаний маятника не изменился?
СМОТРЕТЬ РЕШЕНИЕ

37.38 Круглый цилиндр массы M, длины 2l и радиуса r=l/6 качается около оси O, перпендикулярной плоскости рисунка. Как изменится период качаний цилиндра, если прикрепить к нему на расстоянии OK=85l/72 точечную массу m?
СМОТРЕТЬ РЕШЕНИЕ

37.39 Найти уравнение малых колебаний однородного диска массы M и радиуса r, совершающего колебания вокруг горизонтальной оси Oz, перпендикулярной его плоскости и отстоящей от центра масс C диска на расстоянии OC=r/2. К диску приложен вращающий момент mвр, причем mвр z=m0 sin pt, где m0 и p — постоянные. В начальный момент диску, находившемуся в нижнем положении, была сообщена угловая скорость ω0. Силами сопротивления пренебречь. Считая колебания малыми, принять sin φ≈φ.
СМОТРЕТЬ РЕШЕНИЕ

37.40 В сейсмографах — приборах для регистрации землетрясений — применяется физический маятник, ось подвеса которого образует угол α с вертикалью. Расстояние от оси подвеса до центра масс маятника равно a, момент инерции маятника относительно оси, проходящей через его центр масс параллельно оси подвеса, равен JC, масса маятника равна M. Определить период колебаний маятника
СМОТРЕТЬ РЕШЕНИЕ

37.41 В вибрографе для записи горизонтальных колебаний фундаментов машин маятник OA, состоящий из рычага с грузом на конце, может качаться вокруг своей горизонтальной оси O, удерживаясь в вертикальном положении устойчивого равновесия собственной массой и спиральной пружиной. Определить период собственных колебаний маятника при малых углах отклонения, если максимальный статический момент силы тяжести маятника относительно его оси вращения равен Mgh, момент инерции относительно той же оси равен Jz, коэффициент жесткости пружины, сопротивление которой пропорционально углу закручивания, равен c; при равновесном положении маятника пружина находится в ненапряженном состоянии. Сопротивлениями пренебречь.
СМОТРЕТЬ РЕШЕНИЕ

37.42 Виброграф (см. предыдущую задачу) закреплен на фундаменте, совершающем горизонтальные гармонические колебания по закону x=a sin ωt. Определить амплитуду a колебаний фундамента, если амплитуда вынужденных колебаний маятника вибрографа оказалась равной φ0
СМОТРЕТЬ РЕШЕНИЕ

37.43 При пуске в ход электрической лебедки к барабану A приложен вращающий момент mвр, пропорциональный времени, причем mвр=at, где a — постоянная. Груз B массы M1 поднимается посредством каната, навитого на барабан A радиуса r и массы M2. Определить угловую скорость барабана, считая его сплошным цилиндром. В начальный момент лебедка находилась в покое.
СМОТРЕТЬ РЕШЕНИЕ

37.44 Для определения момента инерции J махового колеса A радиуса R относительно оси, проходящей через центр масс, колесо обмотали тонкой проволокой, к которой привязали гирю B массы M1 и наблюдали продолжительность T1 опускания гири с высоты h. Для исключения трения в подшипниках проделали второй опыт с гирей массы M2, причем продолжительность опускания оказалась равной T2 при прежней высоте. Считая момент силы трения постоянным и не зависящим от массы гири, вычислить момент инерции J.
СМОТРЕТЬ РЕШЕНИЕ

37.45 К валу I присоединен электрический мотор, вращающий момент которого равен m1. Посредством редуктора скоростей, состоящего из четырех зубчатых колес 1, 2, 3 и 4, этот вращающий момент передается на шпиндель III токарного станка, к которому приложен момент сопротивления m2 (этот момент возникает при снятии резцом стружки с обтачиваемого изделия). Определить угловое ускорение шпинделя III, если моменты инерции всех вращающихся деталей, насаженных на валы I, II и III, соответственно равны JI, JII, JIII. Радиусы колес равны r1, r2, r3 и r4.
СМОТРЕТЬ РЕШЕНИЕ

37.46 Барабан A массы M1 и радиуса r приводится во вращение посредством груза C массы M2, привязанного к концу нерастяжимого троса. Трос переброшен через блок B и намотан на барабан A. К барабану A приложен момент сопротивления mс, пропорциональный угловой скорости барабана; коэффициент пропорциональности равен α. Определить угловую скорость барабана, если в начальный момент система находилась в покое. Массами каната и блока B пренебречь. Барабан считать сплошным однородным цилиндром.
СМОТРЕТЬ РЕШЕНИЕ

37.47 Определить угловое ускорение ведущего колеса автомашины массы M и радиуса r, если к колесу приложен вращающий момент mвр. Момент инерции колеса относительно оси, проходящей через центр масс C перпендикулярно плоскости материальной симметрии, равен Jc; fк — коэффициент трения качения, Fтр — сила трения. Найти также значение вращающего момента, при котором колесо катится с постоянной угловой скоростью.
СМОТРЕТЬ РЕШЕНИЕ

37.48 Определить угловую скорость ведомого автомобильного колеса массы M и радиуса r. Колесо, катящееся со скольжением по горизонтальному шоссе, приводится в движение посредством горизонтально направленной силы, приложенной в его центре масс C. Момент инерции колеса относительно оси C, перпендикулярной плоскости материальной симметрии, равен Jc; fк — коэффициент трения качения, f — коэффициент трения при качении со скольжением. В начальный момент колесо находилось в покое.
СМОТРЕТЬ РЕШЕНИЕ

37.49 Изменится ли угловая скорость колеса, рассмотренного в предыдущей задаче, если модуль силы, приложенной в его центре масс C, увеличится в два раза?
СМОТРЕТЬ РЕШЕНИЕ

37.50 Через блок, массой которого пренебрегаем, перекинут канат; за точку A каната ухватился человек, к точке B подвязан груз одинаковой массы с человеком. Что произойдет с грузом, если человек станет подниматься по канату со скоростью v относительно каната?
СМОТРЕТЬ РЕШЕНИЕ

37.51 Решить предыдущую задачу, принимая во внимание массу блока, которая в четыре раза меньше массы человека. Считать, что масса блока равномерно распределена по его ободу.
СМОТРЕТЬ РЕШЕНИЕ

37.52 Круглая горизонтальная платформа может вращаться без трения вокруг неподвижной оси Oz, проходящей через ее центр O; по платформе на неизменном расстоянии от оси Oz, равном r, идет с постоянной относительной скоростью u человек, масса которого равна M1. С какой угловой скоростью ω будет при этом вращаться платформа вокруг оси, если массу ее M2 можно считать равномерно распределенной по площади круга радиуса R, а в начальный момент платформа и человек имели скорость, равную нулю?
СМОТРЕТЬ РЕШЕНИЕ

37.53 Круглая горизонтальная платформа вращается без трения вокруг вертикальной оси, проходящей через ее центр масс, с постоянной угловой скоростью ω0; при этом на платформе стоят четыре человека одинаковой массы: два — на краю платформы, а два — на расстояниях от оси вращения, равных половине радиуса платформы. Как изменится угловая скорость платформы, если люди, стоящие на краю, будут двигаться по окружности в сторону вращения с относительной линейной скоростью u, а люди, стоящие на расстоянии половины радиуса от оси вращения, будут двигаться по окружности в противоположную сторону с относительной линейной скоростью 2u? Людей считать точечными массами, а платформу — круглым однородным диском.
СМОТРЕТЬ РЕШЕНИЕ

37.54 Решить предыдущую задачу в предположении, что все люди двигаются в сторону вращения платформы. Радиус платформы R, ее масса в четыре раза больше массы каждого из людей и равномерно распределена по всей ее площади. Выяснить также, чему должна быть равна относительная линейная скорость u для того, чтобы платформа перестала вращаться.
СМОТРЕТЬ РЕШЕНИЕ

37.55 Человеку, стоящему на скамейке Жуковского, в то время, когда он протянул руки в стороны, сообщают начальную угловую скорость, соответствующую 15 об/мин; при этом момент инерции человека и скамейки относительно оси вращения равен 0,8 кг*м2. С какой угловой скоростью начнет вращаться скамейка с человеком, если, приблизив руки к туловищу, он уменьшит момент инерции системы до 0,12 кг*м2?
СМОТРЕТЬ РЕШЕНИЕ

37.56 Горизонтальная трубка CD может свободно вращаться вокруг вертикальной оси AB. Внутри трубки на расстоянии MC=a от оси находится шарик M. В некоторый момент времени трубке сообщается начальная угловая скорость ω0. Определить угловую скорость ω трубки в момент, когда шарик вылетит из трубки. Момент инерции трубки относительно оси вращения равен J, L — ее длина; трением пренебречь, шарик считать материальной точкой массы m.
СМОТРЕТЬ РЕШЕНИЕ

37.57 Однородный стержень AB длины 2L=180 см и массы M1=2 кг подвешен в устойчивом положении равновесия на острие так, что ось его горизонтальна. Вдоль стержня могут перемещаться два шара массы M2=5 кг каждый, прикрепленные к концам двух одинаковых пружин. Стержню сообщается вращательное движение вокруг вертикальной оси с угловой скоростью, соответствующей n1=64 об/мин, причем шары расположены симметрично относительно оси вращения и центры их с помощью нити удерживаются на расстоянии 2l1=72 см друг от друга. Затем нить пережигается, и шары, совершив некоторое число колебаний, устанавливаются под действием пружин и сил трения в положение равновесия на расстоянии 2l2=108 см друг от друга. Рассматривая шары как материальные точки и пренебрегая массами пружин, определить новое число n2 оборотов стержня в минуту.
СМОТРЕТЬ РЕШЕНИЕ

37.58 Тележка поворотного подъемного крана движется с постоянной скоростью v относительно стрелы. Мотор, вращающий кран, создает в период разгона постоянный момент, равный m0. Определить угловую скорость ω вращения крана в зависимости от расстояния x тележки до оси вращения AB, если масса тележки с грузом равна M, J — момент инерции крана (без тележки) относительно оси вращения; вращение начинается в момент, когда тележка находится на расстоянии x0 от оси AB.
СМОТРЕТЬ РЕШЕНИЕ

37.59 Сохранив условие предыдущей задачи, определить угловую скорость ω вращения крана, если мотор создает вращающий момент, равный m0-αω, где m0 и α — положительные постоянные.
СМОТРЕТЬ РЕШЕНИЕ
Теорема об изменении кинетической энергии материальной системы
38.1 Вычислить кинетическую энергию плоского механизма, состоящего из трех стержней AB, BC и CD, прикрепленных цилиндрическими шарнирами A и D к потолку и соединенных между собой шарнирами B и C. Масса каждого из стержней AB и CD длины l равна M1, масса стержня BC равна М2, причем BC=AD. Стержни AB и DC вращаются с угловой скоростью ω.
СМОТРЕТЬ РЕШЕНИЕ

38.2 Однородный тонкий стержень AB массы M опирается на угол D и концом A скользит по горизонтальной направляющей. Упор E перемещается вправо с постоянной скоростью v. Определить кинетическую энергию стержня в зависимости от угла φ, если длина стержня равна 2l, а превышение угла D над горизонтальной направляющей равно H.
СМОТРЕТЬ РЕШЕНИЕ

38.3 Вычислить кинетическую энергию кулисного механизма, если момент инерции кривошипа OA относительно оси вращения, перпендикулярной плоскости рисунка, равен J0; длина кривошипа равна a, масса кулисы равна m, массой камня A пренебречь. Кривошип OA вращается с угловой скоростью ω. При каких положениях механизма кинетическая энергия достигает наибольшего и наименьшего значений?
СМОТРЕТЬ РЕШЕНИЕ

38.4 Вычислить кинетическую энергию гусеницы трактора, движущегося со скоростью v0. Расстояние между осями колес равно l, радиусы колес равны r, масса одного погонного метра гусеничной цепи равна γ.
СМОТРЕТЬ РЕШЕНИЕ

38.5 Вычислить кинетическую энергию кривошипно-ползунного механизма, если масса кривошипа m1, длина кривошипа r, масса ползуна m2, длина шатуна l. Массой шатуна пренебречь. Кривошип считать однородным стержнем. Угловая скорость вращения кривошипа ω.
СМОТРЕТЬ РЕШЕНИЕ

38.6 Решить предыдущую задачу для положения, когда кривошип OA перпендикулярен направляющей ползуна; учесть массу шатуна m3.
СМОТРЕТЬ РЕШЕНИЕ

38.7 Планетарный механизм, расположенный в горизонтальной плоскости, приводится в движение кривошипом OA, соединяющим оси трех одинаковых колес I, II и III. Колесо I неподвижно; кривошип вращается с угловой скоростью ω. Масса каждого из колес равна M1, радиус каждого из колес равен r, масса кривошипа равна M2. Вычислить кинетическую энергию механизма, считая колеса однородными дисками, а кривошип — однородным стержнем. Чему равна работа пары сил, приложенной к колесу III?
СМОТРЕТЬ РЕШЕНИЕ

38.8 Мельничные бегуны A и B насажены на горизонтальную ось CD, которая вращается вокруг вертикальной оси EF; масса каждого бегуна 200 кг; диаметры бегунов одинаковы, каждый равен 1 м; расстояние между ними CD равно 1 м. Найти кинетическую энергию бегунов, когда ось CD совершает 20 об/мин, допуская, что при вычислении моментов инерции бегуны можно рассматривать как однородные тонкие диски. Качение бегунов по опорной плоскости происходит без скольжения.
СМОТРЕТЬ РЕШЕНИЕ

38.9 В кулисном механизме при качании рычага OC вокруг оси O, перпендикулярной плоскости рисунка, ползун A, перемещаясь вдоль рычага OC, приводит в движение стержень AB, движущийся в вертикальных направляющих K. Рычаг OC длины R считать однородным стержнем с массою m1, масса ползуна равна m2, масса стержня AB равна m3, OK=l. Выразить кинетическую энергию механизма в функции от угловой скорости и угла поворота рычага OC. Ползун считать точечной массой.
СМОТРЕТЬ РЕШЕНИЕ

38.10 Вычислить кинетическую энергию системы, состоящей из двух колес, соединенных паровозным спарником AB и стержнем O1O2, если оси колес движутся со скоростью v0. Масса каждого колеса равна M1. Спарник AB и соединительный стержень O1O2 имеют одинаковую массу M2. Масса колес равномерно распределена по их ободам; O1A=O2B=r/2, где r — радиус колеса. Колеса катятся без скольжения по прямолинейному рельсу.
СМОТРЕТЬ РЕШЕНИЕ

38.11 Автомобиль массы M движется прямолинейно по горизонтальной дороге со скоростью v. Коэффициент трения качения между колесами автомобиля и дорогой равен fк, радиус колес r, сила аэродинамического сопротивления Rс воздуха пропорциональна квадрату скорости: Rс=μMgv2, где μ — коэффициент, зависящий от формы автомобиля. Определить мощность N двигателя, передаваемую на оси ведущих колес, в установившемся режиме.
СМОТРЕТЬ РЕШЕНИЕ

38.12 Машина массы M для шлифовки льда движется равномерно и прямолинейно со скоростью v по горизонтальной плоскости катка. Положение центра масс C указано на рисунке. Вычислить мощность N двигателя, передаваемую на оси колес радиуса r, если fк — коэффициент трения качения между колесами автомашины и льдом, а f — коэффициент трения скольжения между шлифующей кромкой A и льдом. Колеса катятся без скольжения.
СМОТРЕТЬ РЕШЕНИЕ

38.13 На вал диаметра 60 мм насажен маховик диаметра 50 см, делающий 180 об/мин. Определить коэффициент трения скольжения f между валом и подшипниками, если после выключения привода маховик сделал 90 оборотов до остановки. Массу маховика считать равномерно распределенной по его ободу. Массой вала пренебречь.
СМОТРЕТЬ РЕШЕНИЕ

38.14 Цилиндрический вал диаметра 10 см и массы 0,5 т, на который насажено маховое колесо диаметра 2 м и массы 3 т, вращается в данный момент с угловой скоростью 60 об/мин, а затем он предоставлен самому себе. Сколько оборотов еще сделает вал до остановки, если коэффициент трения в подшипниках равен 0,05? Массу маховика считать равномерно распределенной по его ободу.
СМОТРЕТЬ РЕШЕНИЕ

38.15 Однородный стержень OA длины l и массы M может вращаться вокруг горизонтальной неподвижной оси O, проходящей через его конец перпендикулярно плоскости рисунка. Спиральная пружина, коэффициент упругости которой равен c, одним концом скреплена с неподвижной осью O, а другим — со стержнем. Стержень находится в покое в вертикальном положении, причем пружина при этом не деформирована. Какую скорость надо сообщить концу A стержня для того, чтобы он отклонился от вертикали на угол, равный 60°?
СМОТРЕТЬ РЕШЕНИЕ

38.16 К концам гибкой нерастяжимой нити, переброшенной через ничтожно малый блок A, подвешены два груза. Груз массы M1 может скользить вдоль гладкого вертикального стержня CD, отстоящего от оси блока на расстоянии a; центр тяжести этого груза в начальный момент находился на одном уровне с осью блока; под действием силы тяжести этот груз начинает опускаться без начальной скорости. Найти зависимость между скоростью первого груза и высотой его опускания h. Масса второго груза равна M.
СМОТРЕТЬ РЕШЕНИЕ

38.17 Груз P массы M с наложенным на него дополнительным грузом массы M1 посредством шнура, перекинутого через блок, приводит в движение из состояния покоя тело A массы M2, находящееся на негладкой горизонтальной плоскости BC. Опустившись на расстояние s1, груз M проходит через кольцо D, которое снимает дополнительный груз M1, после чего груз M, опустившись на расстояние s2, приходит в состояние покоя. Определить коэффициент трения f между телом A и плоскостью, пренебрегая массой шнура и блока и трением в блоке; дано M2=0,8 кг, M=M1=0,1 кг, s1=50 см, s2=30 см.
СМОТРЕТЬ РЕШЕНИЕ

38.18 Однородная нить длины L, часть которой лежит на гладком горизонтальном столе, движется под влиянием силы тяжести другой части, которая свешивается со стола. Определить промежуток времени T, по истечении которого нить покинет стол, если известно, что в начальный момент длина свешивающейся части равна l, а начальная скорость равна нулю.
СМОТРЕТЬ РЕШЕНИЕ

38.19 Однородная нить длины 2a, висевшая на гладком штифте и находившаяся в покое, начинает двигаться с начальной скоростью v0. Определить скорость нити в тот момент, когда она сойдет со штифта.
СМОТРЕТЬ РЕШЕНИЕ

38.20 Транспортер приводится в движение из состояния покоя приводом, присоединенным к нижнему шкиву B. Привод сообщает этому шкиву постоянный вращающий момент M. Определить скорость ленты транспортера v в зависимости от ее перемещения s, если масса поднимаемого груза A равна M1, а шкивы B и C радиуса r и массы M2 каждый представляют собой однородные круглые цилиндры. Лента транспортера, массой которой следует пренебречь, образует с горизонтом угол α. Скольжение ленты по шкивам отсутствует.
СМОТРЕТЬ РЕШЕНИЕ

38.21 Горизонтальная трубка CD может свободно вращаться вокруг вертикальной оси AB (см. рисунок к задаче 37.56). Внутри трубки на расстоянии MC=x0 от оси лежит тело M. В некоторый момент времени трубке сообщена начальная угловая скорость ω0. Определить скорость v тела M относительно трубки в момент, когда тело вылетит из трубки. Момент инерции трубки относительно оси вращения равен J, L — длина трубки; трением пренебречь. Тело считать материальной точкой массы m.
СМОТРЕТЬ РЕШЕНИЕ

38.22 По горизонтальной платформе A, движущейся при отсутствии трения, перемещается тело B с постоянной относительной скоростью u0 (см. рисунок к задаче 36.9). При затормаживании тела B между ним и платформой A возникают силы трения. Определить работу внутренних сил трения между телом B и платформой A от момента начала торможения до полной остановки тела B относительно платформы A, если их массы соответственно равны m и M.
СМОТРЕТЬ РЕШЕНИЕ

38.23 С помощью электромотора лебедки к валу барабана A радиуса r и массы M1 приложен вращающий момент mвр, пропорциональный углу поворота φ барабана, причем коэффициент пропорциональности равен a (см. рисунок к задаче 37.43). Определить скорость поднимаемого груза B массы M2 в зависимости от высоты его подъема h. Барабан A считать сплошным цилиндром. Массой троса пренебречь. В начальный момент система находилась в покое.
СМОТРЕТЬ РЕШЕНИЕ

38.24 На рисунке изображен подъемный механизм лебедки. Груз A массы M1 поднимается посредством троса, переброшенного через блок C и навитого на барабан B радиуса r и массы M2. К барабану приложен вращающий момент, который с момента включения пропорционален квадрату угла поворота φ барабана: mвр=aφ2, где a — постоянный коэффициент. Определить скорость груза A в момент, когда он поднимается на высоту h. Массу барабана B считать равномерно распределенной по его ободу. Блок C — сплошной диск массы M3. Массой троса пренебречь. В начальный момент система находилась в покое.
СМОТРЕТЬ РЕШЕНИЕ

38.25 Какую начальную скорость, параллельную линии наибольшего ската наклонной плоскости, надо сообщить оси колеса радиуса r для того, чтобы оно, катясь без скольжения, поднялось на высоту h по наклонной плоскости, образующей угол α с горизонтом? Коэффициент трения качения равен fк. Колесо считать однородным диском.
СМОТРЕТЬ РЕШЕНИЕ

38.26 Два цилиндра одинаковой массы и радиуса скатываются без скольжения по наклонной плоскости. Первый цилиндр сплошной, массу второго цилиндра можно считать равномерно распределенной по его ободу. Найти зависимость между скоростями центров масс цилиндров при опускании их на одну и ту же высоту. В начальный момент цилиндры находились в покое.
СМОТРЕТЬ РЕШЕНИЕ

38.27 Эпициклический механизм, расположенный в горизонтальной плоскости, приводится в движение из состояния покоя посредством постоянного вращающего момента L, приложенного к кривошипу OA. Определить угловую скорость кривошипа в зависимости от его угла поворота, если неподвижное колесо I имеет радиус r1, подвижное колесо II — радиус r2 и массу M1, а кривошип OA — массу M2. Колесо II считать однородным диском, а кривошип — однородным стержнем.
СМОТРЕТЬ РЕШЕНИЕ

38.28 В кулачковом механизме, расположенном в горизонтальной плоскости, эксцентрик A приводит в возвратно-поступательное движение ролик B со штангой D. Пружина E, соединенная со штангой, обеспечивает постоянный контакт ролика с эксцентриком. Масса эксцентрика равна M, эксцентриситет e равен половине его радиуса; коэффициент упругости пружины равен c. При крайнем левом положении штанги пружина не напряжена. Какую угловую скорость надо сообщить эксцентрику для того, чтобы он переместил штангу D из крайнего левого в крайнее правое положение? Массой ролика, штанги и пружины пренебречь. Эксцентрик считать однородным круглым диском.
СМОТРЕТЬ РЕШЕНИЕ

38.29 Какой путь проедет велосипедист не вращая педалями до остановки, если в начальный момент он двигался со скоростью 9 км/ч? Общая масса велосипеда и велосипедиста равна 80 кг. Масса каждого из колес равна 5 кг; массу каждого из колес считать равномерно распределенной по окружности радиуса 50 см. Коэффициент трения качения колес о землю равен 0,5 см.
СМОТРЕТЬ РЕШЕНИЕ

38.30 Груз A массы M1, опускаясь вниз, при помощи троса, перекинутого через неподвижный блок D, поднимает вверх груз B массы M2, прикрепленный к оси подвижного блока C. Блоки C и D считать однородными сплошными дисками массы M3 каждый. Определить скорость груза A в момент, когда он опустится на высоту h. Массой троса, проскальзыванием по ободам блоков и силами сопротивления пренебречь. В начальный момент система находилась в покое.
СМОТРЕТЬ РЕШЕНИЕ

38.31 К ведущему колесу — барабану A — снегоочистителя приложен постоянный вращающий момент m. Массу барабана A можно считать равномерно распределенной по его ободу. Суммарная масса снега D, щита B и всех прочих поступательно движущихся частей постоянна и равна M2. Коэффициент трения скольжения снега и щита о землю равен f, коэффициент трения качения барабана о землю равен fк. Масса барабана равна M1, его радиус r. Определить зависимость между путем s, пройденным щитом B снегоочистителя, и модулем его скорости v, если в начальный момент система находилась в покое.
СМОТРЕТЬ РЕШЕНИЕ

38.32 Скорость автомашины, движущейся по прямой горизонтальной дороге, возросла от v1 до v2 за счет увеличения мощности мотора. При этом был пройден путь s. Вычислить работу, совершенную мотором на этом перемещении автомашины, если M1 — масса каждого из четырех колес, M2 — масса кузова, r — радиус колес, fк — коэффициент трения качения колес о шоссе. Колеса, катящиеся без скольжения, считать однородными сплошными дисками. Кинетической энергией всех деталей, кроме колес и кузова, пренебречь.
СМОТРЕТЬ РЕШЕНИЕ

38.33 Стремянка ABC с шарниром B стоит на гладком горизонтальном полу, длина AB=BC=2l, центры масс находятся в серединах D и E стержней, радиус инерции каждой лестницы относительно оси, проходящей через центр масс, равен ρ, расстояние шарнира B от пола равно h. В некоторый момент времени стремянка начинает падать вследствие разрыва стержня FG. Пренебрегая трением в шарнире, определить: 1) скорость точки B в момент удара ее о пол; 2) скорость точки B в тот момент, когда расстояние ее от пола будет равно h/2.
СМОТРЕТЬ РЕШЕНИЕ

38.34 Стержень AB длины 2a падает, скользя концом A по гладкому горизонтальному полу. В начальный момент стержень занимал вертикальное положение и находился в покое. Определить скорость центра масс стержня в зависимости от его высоты h над полом.
СМОТРЕТЬ РЕШЕНИЕ

38.35 В дифференциальном вороте два жестко соединенных вала K1 и K2 с радиусами r1 и r2 и моментами инерции относительно оси O1O2 соответственно J1 и J2 приводятся во вращение рукояткой AB. Подвижный блок C подвешен на невесомой нерастяжимой нити, левая ветвь которой навита на вал K1, а правая ветвь — на вал K2. При вращении рукоятки AB левая ветвь нити сматывается с вала K1, а правая ветвь наматывается на вал K2. К рукоятке AB приложен постоянный вращающий момент m. К блоку C подвешен груз D массы M. Найти угловую скорость вращения рукоятки в момент, соответствующий концу подъема груза D на высоту s. В начальный момент система находилась в покое. Массами рукоятки и блока пренебречь.
СМОТРЕТЬ РЕШЕНИЕ

38.36 Ворот приводится в движение посредством ременной передачи, соединяющей шкив II, сидящий на валу ворота, со шкивом I, сидящим на валу мотора. К шкиву I массы M1 и радиуса r приложен постоянный вращающий момент m. Масса шкива II равна M2, радиус его R. Масса барабана ворота M3, радиус его r, масса поднимаемого груза M4. Ворот приводится в движение из состояния покоя. Найти скорость груза в момент, когда он поднимается на высоту h. Массами ремня, каната и трением в подшипниках пренебречь. Шкивы и барабан считать однородными круглыми цилиндрами.
СМОТРЕТЬ РЕШЕНИЕ

38.37 Решить предыдущую задачу, принимая во внимание массу каната, к которому привязан груз. Длина каната l, масса единицы длины каната M. В начальный момент с вала барабана ворота свисала часть каната длиной 2h.
СМОТРЕТЬ РЕШЕНИЕ

38.38 Постоянный вращающий момент L приложен к барабану ворота радиуса r и массы M1. К концу A намотанного на барабан троса привязан груз массы M2, который поднимается по наклонной плоскости, расположенной под углом α к горизонту. Какую угловую скорость приобретет барабан ворота, повернувшись на угол φ? Коэффициент трения скольжения груза о наклонную плоскость равен f. Массой троса пренебречь, барабан считать однородным круглым цилиндром. В начальный момент система была в покое.
СМОТРЕТЬ РЕШЕНИЕ

38.39 Решить предыдущую задачу с учетом массы троса, к которому привязан груз. Длина троса равна l, масса единицы длины троса равна M. В начальный момент с барабана ворота свисала часть троса длиной a. Изменением потенциальной энергии троса, намотанного на барабан, пренебречь.
СМОТРЕТЬ РЕШЕНИЕ

38.40 К барабану ворота радиуса r1 и массы M1 приложен постоянный вращающий момент L. К концу троса, намотанного на барабан, прикреплена ось C колеса массы M2. Колесо катится без скольжения вверх по наклонной плоскости, расположенной под углом α к горизонту. Какую угловую скорость приобретет барабан, сделав n оборотов? Барабан и колесо считать однородными круглыми цилиндрами. В начальный момент система находилась в покое. Массой троса и трением пренебречь.
СМОТРЕТЬ РЕШЕНИЕ

38.41 Решить предыдущую задачу с учетом массы троса и трения качения колеса о наклонную плоскость, если l — длина троса, M — масса его единицы длины, a — длина части троса, не намотанной на барабан в начальный момент, fк — коэффициент трения качения, r2 — радиус колеса. Изменением потенциальной энергии троса, намотанного на барабан, пренебречь.
СМОТРЕТЬ РЕШЕНИЕ

38.42 Колесо A скатывается без скольжения по наклонной плоскости OK, поднимая посредством нерастяжимого троса колесо B, которое катится без скольжения по наклонной плоскости ON. Трос переброшен через блок C, вращающийся вокруг неподвижной горизонтальной оси O. Найти скорость оси колеса A при ее перемещении параллельно линии OK на расстояние s. В начальный момент система была в покое. Оба колеса и блок считать однородными дисками одинаковой массы и радиуса. Массой троса пренебречь.
СМОТРЕТЬ РЕШЕНИЕ

38.43 Решить предыдущую задачу, принимая во внимание трение качения колес о наклонные плоскости. Коэффициент трения качения равен fк, радиусы колес равны r.
СМОТРЕТЬ РЕШЕНИЕ

38.44 К грузу A массы M1 прикреплена нерастяжимая нить, переброшенная через блок D массы M2 и намотанная на боковую поверхность цилиндрического катка B массы M3. При движении груза A вниз по наклонной плоскости, расположенной под углом α к горизонту, вращается блок D, а каток B катится без скольжения вверх по наклонной плоскости, образующей с горизонтом угол β. Определить скорость груза A в зависимости от пройденного им пути s, если в начальный момент система находилась в покое. Блок D и каток B считать однородными круглыми цилиндрами. Силами трения и массой нити пренебречь.
СМОТРЕТЬ РЕШЕНИЕ

38.45 Решить предыдущую задачу в предположении, что коэффициенты трения скольжения и качения соответственно равны f и fк. Радиус катка B равен r.
СМОТРЕТЬ РЕШЕНИЕ

38.46 Груз массы М подвешен на нерастяжимом однородном тросе длины l, навитом на цилиндрический барабан с горизонтальной осью вращения. Момент инерции барабана относительно оси вращения J, радиус барабана R, масса единицы длины каната m. Определить скорость груза в момент, когда длина свисающей части каната равна x, если в начальный момент скорость груза v0=0, а длина свисающей части каната была равна x0; трением на оси барабана, толщиной троса и изменением потенциальной энергии троса, навитого на барабан, пренебречь.
СМОТРЕТЬ РЕШЕНИЕ

38.47 Груз A массы M1 подвешен к однородному нерастяжимому канату длины L и массы M2. Канат переброшен через блок B, вращающийся вокруг оси O, перпендикулярной плоскости рисунка. Второй конец каната прикреплен к оси катка C, катящегося без скольжения по неподвижной плоскости. Блок B и каток C — однородные круглые диски радиуса r и массы M3 каждый. Коэффициент трения качения катка C о горизонтальную плоскость равен fк. В начальный момент, когда система находилась в покое, с блока B свисала часть каната длины l. Определить скорость груза A в зависимости от его вертикального перемещения h.
СМОТРЕТЬ РЕШЕНИЕ

38.48 Механизм эллипсографа, расположенный в горизонтальной плоскости, приводится в движение посредством постоянного вращающего момента m0, приложенного к кривошипу OC. В начальный момент при φ=0 механизм находился в покое. Найти угловую скорость кривошипа OC в момент, когда он сделал четверть оборота. Дано: M — масса стержня AB, mA=mB=m — массы ползунов A и B, OC=AC=BC=l; массой кривошипа OC и силами сопротивления пренебречь.
СМОТРЕТЬ РЕШЕНИЕ

38.49 Решить предыдущую задачу с учетом постоянного момента сопротивления mC в шарнире C.
СМОТРЕТЬ РЕШЕНИЕ

38.50 К кривошипу OO1 эпициклического механизма, расположенного в горизонтальной плоскости, приложен вращающий момент Mвр=M0-αω, где M0 и α — положительные постоянные, а ω — угловая скорость кривошипа. Масса кривошипа равна m, M — масса сателлита (подвижного колеса). Считая кривошип тонким однородным стержнем, а сателлит — однородным круглым диском радиуса r, определить угловую скорость ω кривошипа как функцию времени. В начальный момент система находилась в покое. Радиус неподвижной шестерни равен R; силами сопротивления пренебречь.
СМОТРЕТЬ РЕШЕНИЕ

38.51 Решить предыдущую задачу с учетом постоянного момента трения Mтр на оси O1 сателлита.
СМОТРЕТЬ РЕШЕНИЕ

38.52 Кривошип OO1 гипоциклического механизма, расположенного в горизонтальной плоскости, вращается с постоянной угловой скоростью ω0. В некоторый момент времени двигатель был отключен и под действием постоянного момента Mтр сил трения на оси сателлита (подвижного колеса) механизм остановился. Определить время τ торможения и угол φ поворота кривошипа за это время, если его масса равна M1, M2 — масса сателлита, R и r — радиусы большого и малого колес. Кривошип принять за однородный тонкий стержень, а сателлит — за однородный диск.
СМОТРЕТЬ РЕШЕНИЕ

38.53 Крестовина C приводится во вращение вокруг неподвижной оси O1 посредством однородного стержня AB, вращающегося вокруг неподвижной оси O (оси O и O1 перпендикулярны плоскости рисунка). При этом ползуны A и B, соединенные при помощи шарниров со стержнем AB, скользят вдоль взаимно перпендикулярных прорезей крестовины C. Вращение стержня происходит под действием постоянного вращающего момента mвр. Определить угловую скорость стержня AB в момент, когда он сделает четверть оборота, если в начальный момент при φ=0 он имел угловую скорость ω0. Величина момента сопротивления, возникающего в каждом из шарниров ползунов A и B, в два раза меньше mвр. Прочими силами сопротивления пренебречь. Масса стержня равна m; момент инерции крестовины C относительно оси O1 равен J; OO1=OA=OB=l.
СМОТРЕТЬ РЕШЕНИЕ
Плоскопараллельное (плоское) движение твердого тела
39.1 Тяжелое тело состоит из стержня AB длины 80 см и массы 1 кг и прикрепленного к нему диска радиуса 20 см и массы 2 кг. В начальный момент при вертикальном положении стержня телу сообщено такое движение, что скорость центра масс M1 стержня равна нулю, а скорость центра масс M2 диска равна 360 см/с и направлена по горизонтали вправо. Найти последующее движение тела, принимая во внимание только действие силы тяжести.
СМОТРЕТЬ РЕШЕНИЕ

39.2 Диск падает в вертикальной плоскости под действием силы тяжести. В начальный момент диску была сообщена угловая скорость ω0, а его центр масс C, находившийся в начале координат, имел горизонтально направленную скорость v0. Найти уравнения движения диска. Оси x, y изображены на рисунке. Силами сопротивления пренебречь.
СМОТРЕТЬ РЕШЕНИЕ

39.3 Решить предыдущую задачу, считая, что момент mC сопротивления движению относительно подвижной горизонтальной оси, проходящей через центр масс C диска перпендикулярно плоскости движения его, пропорционален первой степени угловой скорости диска φ , причем коэффициент пропорциональности равен β. Момент инерции диска относительно этой оси равен JC.
СМОТРЕТЬ РЕШЕНИЕ

39.4 Ведущее колесо автомашины радиуса r и массы M движется горизонтально и прямолинейно. К колесу приложен вращающий момент m. Радиус инерции колеса относительно оси, проходящей через центр масс перпендикулярно его плоскости, равен ρ. Коэффициент трения скольжения колеса о землю равен f. Какому условию должен удовлетворять вращающий момент для того, чтобы колесо катилось без скольжения? Сопротивлением качения пренебречь.
СМОТРЕТЬ РЕШЕНИЕ

39.5 Решить предыдущую задачу с учетом трения качения, если коэффициент трения качения равен fк.
СМОТРЕТЬ РЕШЕНИЕ

39.6 Ось ведомого колеса автомашины движется горизонтально и прямолинейно. К оси колеса приложена горизонтально направленная движущая сила F. Радиус инерции колеса относительно оси, проходящей через центр масс перпендикулярно его плоскости, равен ρ. Коэффициент трения скольжения колеса о землю равен f. Радиус колеса равен r, масса колеса равна M. Какому условию должна удовлетворять величина силы F для того, чтобы колесо катилось без скольжения? Сопротивлением качения пренебречь.
СМОТРЕТЬ РЕШЕНИЕ

39.7 Решить предыдущую задачу с учетом трения качения, если коэффициент трения качения равен fк.
СМОТРЕТЬ РЕШЕНИЕ

39.8 Автомобильный прицеп движется замедленно с ускорением w0 до остановки. При этом тормоз в одном из его колес не включается. Давление колеса на дорогу равно N. Коэффициент трения колеса с дорогой равен f. Дано: r — радиус колеса, m — его масса, ρ — радиус инерции. Определить силу горизонтального давления S колеса на его ось.
СМОТРЕТЬ РЕШЕНИЕ

39.9 Колесо радиуса r катится по прямолинейному горизонтальному рельсу под действием приложенного вращающего момента mвр=(5/2)fMgr, где f —коэффициент трения скольжения, M — масса колеса. Определить скорость точки колеса, соприкасающейся с рельсом (скорость проскальзывания). Масса колеса равномерно распределена по его ободу. Трением качения пренебречь. В начальный момент колесо находилось в покое
СМОТРЕТЬ РЕШЕНИЕ

39.10 Решить предыдущую задачу с учетом трения качения, если коэффициент трения качения fк=1/4 fr.
СМОТРЕТЬ РЕШЕНИЕ

39.11 Однородный цилиндр с горизонтальной осью скатывается под действием силы тяжести по наклонной шероховатой плоскости с коэффициентом трения f. Определить угол наклона плоскости к горизонту и ускорение оси цилиндра, предполагая, что при движении цилиндра скольжение отсутствует. Сопротивлением качения пренебречь.
СМОТРЕТЬ РЕШЕНИЕ

39.12 Однородный сплошной круглый диск катится без скольжения по наклонной плоскости, расположенной под углом α к горизонту. Ось диска образует угол β с линией наибольшего ската. Определить ускорение центра масс диска, считая, что его качение происходит в одной вертикальной плоскости.
СМОТРЕТЬ РЕШЕНИЕ

39.13 Однородный цилиндр с горизонтальной осью скатывается под действием силы тяжести со скольжением по наклонной плоскости при коэффициенте трения скольжения f. Определить угол наклона плоскости к горизонту и ускорение оси цилиндра.
СМОТРЕТЬ РЕШЕНИЕ

39.14 Однородное колесо радиуса r скатывается без скольжения по наклонной плоскости, образующей угол α с горизонтом. При каком значении коэффициента трения качения fк центр масс колеса будет двигаться равномерно, а колесо при этом будет равномерно вращаться вокруг оси, проходящей через центр масс перпендикулярно его плоскости?
СМОТРЕТЬ РЕШЕНИЕ

39.15 На барабан однородного катка массы M и радиуса r, лежащего на горизонтальном шероховатом полу, намотана нить, к которой приложена сила T под углом α к горизонту. Радиус барабана a, радиус инерции катка ρ. Определить закон движения оси катка O. В начальный момент каток находился в покое, затем катился без скольжения.
СМОТРЕТЬ РЕШЕНИЕ

39.16 Однородный стержень AB массы M горизонтально подвешен к потолку посредством двух вертикальных нитей, прикрепленных к концам стержня. Найти натяжение одной из нитей в момент обрыва другой. Указание. Составить дифференциальные уравнения движения стержня для весьма малого промежутка времени, следующего за моментом обрыва нити, пренебрегая изменением направления стержня и изменением расстояния центра масс стержня от другой нити.
СМОТРЕТЬ РЕШЕНИЕ

39.17 Однородный стержень AB массы M подвешен в точке O на двух нитях равной с ним длины. Определить натяжение одной из нитей в момент обрыва другой. (См. указание к задаче 39.16.)
СМОТРЕТЬ РЕШЕНИЕ

39.18 Однородный тонкий стержень длины 2l и массы M лежит на двух опорах A и B; центр масс C стержня находится на одинаковых расстояниях от опор, причем CA=CB=a; давление на каждую опору равно 1/2 P. Как изменится давление на опору A в тот момент, когда опора B будет мгновенно удалена? (См. указание к задаче 39.16.)
СМОТРЕТЬ РЕШЕНИЕ

39.19 Тяжелый круглый цилиндр A массы m обмотан посредине тонкой нитью, конец которой B закреплен неподвижно. Цилиндр падает без начальной скорости, разматывая нить. Определить скорость оси цилиндра, после того как эта ось опустится на высоту h, и найти натяжение T нити.
СМОТРЕТЬ РЕШЕНИЕ

39.20 Две гибкие нити обмотаны вокруг однородного круглого цилиндра массы M и радиуса r так, что завитки их расположены симметрично относительно средней плоскости, параллельной основаниям. Цилиндр помещен на наклонной плоскости AB так, что его образующие перпендикулярны линии наибольшего ската, а концы C нитей закреплены симметрично относительно вышеуказанной средней плоскости на расстоянии 2r от плоскости AB. Цилиндр начинает двигаться без начальной скорости под действием силы тяжести, преодолевая трение о наклонную плоскость, причем коэффициент трения равен f. Определить путь s, пройденный центром масс цилиндра за время t, и натяжение T нитей, предполагая, что в течение рассматриваемого промежутка времени ни одна из нитей не сматывается до конца.
СМОТРЕТЬ РЕШЕНИЕ

39.21 Два цилиндрических вала массы M1 и M2 скатываются по двум наклонным плоскостям, образующим соответственно углы α и β с горизонтом. Валы соединены нерастяжимой нитью, концы которой намотаны на валы и к ним прикреплены. Определить натяжение нити и ее ускорение при движении по наклонным плоскостям. Валы считать однородными круглыми цилиндрами. Массой нити пренебречь.
СМОТРЕТЬ РЕШЕНИЕ

39.22 Определить период малых колебаний однородного полукруглого диска радиуса R, находящегося на негладкой горизонтальной плоскости, по которой он может катиться без скольжения.
СМОТРЕТЬ РЕШЕНИЕ